Prodotto scalare e base

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Ciao

Studiando algebra lineare (in particolare approfondendo il concetto che conoscevo di prodotto scalare con forme bilineari) mi è sorto un dubbio abbastanza stupido e "basso" (cioè terra-terra)

Mi sono accorto che la definizione di prodotto scalare (in genere forma bilineare ma vorrei considerare il caso del prodotto scalare) non si usa il concetto di componenti. CIoè si può poi fare il prodotto scalare usando le compnoneti, ma il prodotto scalare nasce a priori. Quindi mi verrebbe da dire che posso avere uno spazio vettoriale su cui definisco un prodotto scalare (es euclideo) senza definire una base.
Ora: il prodotto scalare tuttavia permette di essere visto come proiezione di un vettore sull'altro, quindi mi permette di trovare i coefficienti di un vettore nella sa proiezione su una base.

E' quindi corretto dire che il prodotto scalare può indurre una base nello spazio vettoriale? E, se è giusta l'intuizione (cosa che dubito) come la formalizzo? E soprattutto è sempre vera per ogni prodotto scalare?

Vi ringrazio

[anto_zoolander]

Un prodotto scalare è semplicemente una funzione $b:VtimesV->RR$ tale che sia bilineare, $b(v,v)geq0$ e $b(v,v)=0 <=> v=0$. Non ti serve lavorare necessariamente per componenti

che intendi per "indurre una base"? sicuramente puoi estrapolare una base dello spazio che sia ortogonale per il prodotto scalare ma in genere il prodotto scalare non ti da una "base" bella e pronta

se fissi una base otterrai una rappresentazione del prodotto scalare.

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Sisi certo quel che dici è sacrosanto emi torna bene.

In realtà intendevo dire che notavo come il prodotto scalare dia, dati due vettori, un reale interpretabile comela proiezione di un vettore sull'altro. Cioè mi darebbe una componente se quel vettore fossebase. Quindi, proprio perché il prodotto scalare vive a prescindere dal definire una base, in un certo senso definito tale prodotto posso trovare le componenti di una ipotetica base prima di definirla.

Era questa l'idea che cercavo di riportare

Grazie mille per la tua risposta

[anto_zoolander]

In realtà intendevo dire che notavo come il prodotto scalare dia, dati due vettori, un reale interpretabile comela proiezione di un vettore sull'altro.

non è vera questa cosa; piuttosto $v*w$ si può vedere come il prodotto tra la lunghezza di $v$ e la lunghezza della proiezione di $w$ su $v$

infatti $v*w=norm(v)*norm(w)*(v*w)/(norm(v)*norm(w))=norm(v)*norm(w)*cos(theta)$

di fatto la proiezione di $w$ su $v$ è $proj_(v)(w)=(v*w)/norm(v)^2*v$

in un certo senso definito tale prodotto posso trovare le componenti di una ipotetica base prima di definirla.

questa non l'ho capita; se intendi che un prodotto scalare ti permette di trovare una base ortogonale rispetto al prodotto stesso allora sì

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Ciao anto ,

questa non l'ho capita; se intendi che un prodotto scalare ti permette di trovare una base ortogonale rispetto al prodotto stesso allora sì

Sì esatto, in un certo senso mi sembra di poter trovare una base anche senza definire la base a priori, dato che un prodotto scalare (in generale una forma blineare) è definibile anche senza definire prima una base e poi trovo la base ortogonale a posteriore a partire da tale forma.