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Relazione goniometrica angoli nello spazio

27/06/2019, 10:52

Mi sono imbattuto nella seguente relazione goniometrica ma non riesco a capire da dove proviene (forse perché non riesco bene a visualizzare il disegno).
Consideriamo una radiazione che si propaga nella direzione $\hat{l}$ identificata dai tre angoli $\alpha,\beta,\gamma$ rispetto al riferimento cartesiano. Vale $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma=1$.
Il caso 2D è banale. Ma in 3D non ho capito bene se i tre angoli sono gli angoli tra l'asse e la proiezione di $\hat{l}$ sul piano (tipo coordinate sferiche, per capirci) o meno.

Re: Relazione goniometrica angoli nello spazio

08/07/2019, 01:57

Di solito sono gli angoli che il vettore forma rispetto ai versori della base ortonormale. Hai infatti che il vettore \(\hat{l}\) si può scrivere nella seguente forma rispetto alla base \(\{\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}\}\):
\[ \hat{l} = (\hat{l}\cdot\hat{\imath})\,\hat{\imath} + (\hat{l}\cdot\hat{\jmath})\,\hat{\jmath} + (\hat{l}\cdot\hat{k})\,\hat{k}. \]
Il prodotto scalare tra due versori è uguale al coseno dell'angolo tra di essi, per cui puoi scrivere la precedente relazione come:
\[ \hat{l} = \cos\alpha\,\hat{\imath} + \cos\beta\,\hat{\jmath} + \cos\gamma\,\hat{k}. \]
La tua relazione goniometrica è a questo punto semplicemente la lunghezza al quadrato di questo vettore che sai essere unitaria:
\[ 1 = |\hat{l}|^2 = \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma. \]
Questa rappresentazione prende il nome di coseni direttori.
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