Applicazione tra spazi di polinomi

Messaggioda Sirus92 » 28/06/2019, 11:10

Buongiorno. Vorrei fare una domanda su un esercizio di algebra lineare.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia data l'applicazione F: $RR_1$[x] -> $RR_2$[x] definita da: F(ax + b) = (a-b)$x^2$ + k($b^2$)x + 2a. Si determinino i valori di k per cui tale applicazione è lineare.

La soluzione del libro è: per nessun k reale.

Tuttavia se io ponessi k = 0, l'applicazione non risulterebbe lineare?

Lo dimostrerei nel seguente modo:
Posto k = 0, siano p(x) = ax + b e r(x) = cx + d due polinomi generici di primo grado. Allora affinché l'applicazione sia lineare deve risultare che F($\lambda$p(x) + $\mu$r(x)) = $\lambda$F(p(x)) + $\mu$F(r(x)), con $\lambda$, $\mu$ $in RR$.

Quindi,
1. F($\lambda$(ax + b) +$\mu$(cx + d)) = F(($\lambda$a + $\mu$c)x + ($\lambda$b + $\mu$d)) = ($\lambda$a + $\mu$c - $\lambda$b - $\mu$d)$x^2$ + 2($\lambda$a + $\mu$c)
2. $\lambda$F(p(x)) + $\mu$F(r(x)) = $\lambda$((a-b)$x^2$ + 2a) + $\mu$((c-d)$x^2$ + 2c) = ($\lambda$a + $\mu$c - $\lambda$b - $\mu$d)$x^2$ + 2($\lambda$a + $\mu$c)

Siccome l'uguaglianza è rispettata, l'applicazione non dovrebbe essere lineare per k = 0?
In cosa consiste il mio errore di ragionamento?
Vi ringrazio in anticipo.
Sirus92
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Re: Applicazione tra spazi di polinomi

Messaggioda apatriarca » 05/07/2019, 21:53

Il tuo ragionamento mi sembra in effetti corretto.
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