Esercizi algebra lineare
Inviato: 28/06/2019, 10:45
Buongiorno, ho trovato difficoltà nello svolgere questi esercizi.
Non so proprio come muovermi per questo vi chiedo un aiuto e ve ne sarei veramente grato .
In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.
ex2
Sia $w ∈ R^3$ e sia $f : R^3 → R^3$ definita da $f(v) = v ∧ w ∀v ∈ R^3$. a) Dimostrare che f è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $Kerf $e di $Imf$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f `e semplice.
ex3
Sia $f : R^3 → R^3$ la applicazione definita da $f(v) = (v.u)u ∀v ∈ R^3$ dove u è un vettore di norma uno di $R^3$. a) Verificare che f è lineare. b) Caratterizzare geometricamente il nucleo e l’immagine di f.
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f è semplice.
Non so proprio come muovermi per questo vi chiedo un aiuto e ve ne sarei veramente grato .
In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.
ex2
Sia $w ∈ R^3$ e sia $f : R^3 → R^3$ definita da $f(v) = v ∧ w ∀v ∈ R^3$. a) Dimostrare che f è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $Kerf $e di $Imf$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f `e semplice.
ex3
Sia $f : R^3 → R^3$ la applicazione definita da $f(v) = (v.u)u ∀v ∈ R^3$ dove u è un vettore di norma uno di $R^3$. a) Verificare che f è lineare. b) Caratterizzare geometricamente il nucleo e l’immagine di f.
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f è semplice.