Conica proiettività

[Reyzet]

Ciao a tutti,
Ho un problema con questo esercizio, mi si chiede di trovare le proiettività $w$ di $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3$che fissi il piano $\pi=V(x_{1})$ (per $V(f)$ intendo i punti per cui $f=0$)cioè $w(\pi)=\pi$. E fin qui ok rispetto alla base canonica avrà una matrice con $a_{2,j}=0$ per $j\ne2$.
Dopodiché chiede di trovare il sottogruppo delle proiettività di questo tipo che lascino invariata pure $C=V(x_{1})\cap V(x_{0}^2+x_{2}^2+x_{3}^2)$ e qui mi blocco. Cioè conosco un metodo per fare una cosa simile (calcolarmi l'immagine di C tramite l'inversa della proiettività, fare dei giochetti etc) ma con tutti questi parametri non lo vedo accettabile.
Qualcuno conosce una strada più sensata/veloce oppure sbaglio la proiettività all'inizio non so...