Coni quadratici e quadriche

Messaggioda Cantor99 » 28/06/2019, 23:58

Salve, vorrei provare che un cono quadratico è una quadrica
Nello spazio proiettivo, sia $\pi$ un piano, $\Gamma$ una sua conica e $V$ un punto non appartenente a $\pi$. Si dice cono quadratico di vertice $V$ e generatrice $\Gamma$ l'insieme
\[
\mbox{Sc}(V,\Gamma)=\bigcup_{P\in \Gamma}PV
\]

dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei appunti, attraverso esempi, fanno vedere che un cono quadratico è una quadrica, cioè il luogo degli zeri di un polinomio omogeno di secondo grado nelle incognite $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$

C'è un modo più formale per affermarlo?

Un mio tentativo è questo : so che sussistono queste due caratterizzazioni
Nello spazio affine reale, un cono di vertice l'origine del sistema di riferimento è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio omogeno di secondo grado

Nello spazio affine reale, un cilindro con direttrici parallele ad uno degli assi è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio di secondo grado in cui manca un termine quadratico

Posso partire da questi risultati ampliandoli proiettivamente?
Come fareste?
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda caulacau » 08/07/2019, 23:55

C'è qualcosa che non va nelle definizioni che hai scritto, perché dimentichi di specificare la condizione di cono: la condizione di cono è che esiste un punto $p$ tale che per ogni altro punto $q$ sulla quadrica, la retta $pq$ è contenuta nel (supporto del)la quadrica. Grosso modo ogni altra definizione di cono è uguale a questa.

Equazionalmente, non stai dicendo molto altro che "esiste un punto \(p=(x_0,\dots, x_n)\) con la proprietà che \(F(p + t(q-p)) = 0\)" per ogni altro $q$ tale che $F(q)=0$, se $F$ è il polinomio che definisce la quadrica.
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda Cantor99 » 10/07/2019, 17:30

Grazie per la risposta. Quella che citi è una mia definizione a posteriori nel piano proiettivo : cioè, un cono quadratico è una quadrica con un unico punto doppio (giusto?). Inoltre, nella mia definizione $V$ non assolve ai compiti di $p$?
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda caulacau » 11/07/2019, 00:22

Parlo di quando traduci la condizione di cono dando condizioni su dei polinomi.
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda Cantor99 » 11/07/2019, 17:44

Scusami ma non ti sto capendo. Se parto dalla mia definizione come posso arrivare a dire che un cono o un cilindro è una quadrica? Cioè, come posso imporre la tua condizione se non so che un cono/cilindro è una quadrica?

Ti faccio un esempio pratico per farti capire cosa voglio fare. In questo file https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157431 alle pagine 133-134 costruisce l'equazione di un cono . Io vorrei trovare un modo più formale per generalizzare quel procedimento

Grazie ancora
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda caulacau » 11/07/2019, 18:14

Ripartiamo, infatti, perché non so se ci stiamo capendo.

Se $V$ è un $K$-spazio vettoriale, una quadrica su \(\mathbb{P}(V)\) è una (classe di equivalenza) di forma/e bilineare/i rispetto alla relazione di proporzionalità non nulla: lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(\text{Bil}(V) \cong \hom_K(V\otimes V, k)\cong (V\otimes V)^\star\) viene quozientato rispetto alla relazione di equivalenza che dice che $q\approx q'$ se esiste uno scalare non nullo $\alpha$ tale che $q' = \alpha q$.

Nell'ovvia identificazione tra forme quadratiche e polinomi omogenei di secondo grado, una quadrica è descritta da un(a classe di equivalenza di) polinomi omogenei di grado 2 nelle coordinate proiettive $X_0,..., X_n$; nell'ovvia identificazione tra lo spazio di questi polinomi e le matrici simmetriche a coefficienti in $K$, riesci ad associare una matrice simmetrica a una quadrica $\mathcal Q$, cioè a un polinomio \(p_{\mathscr Q}\), i cui ingressi sono univocamente determinati dai coefficienti di \(p_{\mathscr Q}\) nel modo che sicuramente conosci.

Ora, Una quadrica $\mathcal Q$ è un cono quadrico se esiste almeno un punto $P$ del supporto di $\mathcal Q$ con la
proprietà che, preso comunque un altro punto $Q$ del supporto, allora la retta $P \vee Q$ è tutta contenuta nel supporto
di $\mathcal Q$. Questa è una proprietà geometrica che non dipende dalla espressione di $\mathcal Q$ come classe di proporzionalità di polinomi quadratici. I punti con la proprietà di cono, formano quello che si chiama il vertice del cono.

Inoltre, una quadrica è degenere se e solo se è un cono quadrico. Quindi questa condizione è solo un altro nome per una nozione che hai già, e che in algebra lineare si traduce immediatamente in una condizione sulla matrice che rappresenta $\mathcal Q$: come conseguenza infatti, una quadrica è un cono quadrico se, e solo se, la sua matrice associata è singolare. Prova a dimostrare, ora, che il nucleo di $A$ ha come varietà proiettiva associata precisamente il vertice di $\mathcal Q$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

PS: sento fin da qui il rumore di Cristo che scende dalla croce per inchiodarci chi ha (non-)TeXato questo aborto.
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Re: Coni quadratici e quadriche

Messaggioda caulacau » 11/07/2019, 18:23

Detto questo, una procedura generale per ottenere coni quadrici si dà alla luce dell'ultima osservazione: prendi un sottospazio $W$ di \(\mathbb{P}(V)\) (diciamo che $W$ ha dimensione $k$ nello spazio di dimensione $n$), che sarà il vertice del cono che vai costruendo, e una quadrica $\mathcal Q_{n-1}$ in un iperpiano $H$ di \(\mathbb{P}(V)\) disgiunto da $W$; traccia la retta che unisce il generico punto di $W$ al generico punto della quadrica $\mathcal Q_{n-1}$; questa è una rappresentazione implicita del cono quadrico di vertice $W$, e sezione conica $\mathcal Q_{n-1}$ nell'iperpiano $H$.
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