Coni quadratici e quadriche
Inviato: 28/06/2019, 22:58
Salve, vorrei provare che un cono quadratico è una quadrica
dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei appunti, attraverso esempi, fanno vedere che un cono quadratico è una quadrica, cioè il luogo degli zeri di un polinomio omogeno di secondo grado nelle incognite $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$
C'è un modo più formale per affermarlo?
Un mio tentativo è questo : so che sussistono queste due caratterizzazioni
Posso partire da questi risultati ampliandoli proiettivamente?
Come fareste?
Nello spazio proiettivo, sia $\pi$ un piano, $\Gamma$ una sua conica e $V$ un punto non appartenente a $\pi$. Si dice cono quadratico di vertice $V$ e generatrice $\Gamma$ l'insieme
\[
\mbox{Sc}(V,\Gamma)=\bigcup_{P\in \Gamma}PV
\]
dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei appunti, attraverso esempi, fanno vedere che un cono quadratico è una quadrica, cioè il luogo degli zeri di un polinomio omogeno di secondo grado nelle incognite $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$
C'è un modo più formale per affermarlo?
Un mio tentativo è questo : so che sussistono queste due caratterizzazioni
Nello spazio affine reale, un cono di vertice l'origine del sistema di riferimento è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio omogeno di secondo grado
Nello spazio affine reale, un cilindro con direttrici parallele ad uno degli assi è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio di secondo grado in cui manca un termine quadratico
Posso partire da questi risultati ampliandoli proiettivamente?
Come fareste?