Rango e sistemi lineari

[Giovanni Mascolo]

Sto risolvendo gli esercizi, con ahimè, molta lentezza, del libro "Algebra lineare, per matematici" di Manetti.
All'esercizio sulla determinazione del rango mi imbatto in un sistema che così si conclude:
${b=1;
a=0;
a=1$
La mia domanda, che intuisco essere banale, e da liceo superiore forse, é: come si definisce un sistema in cui mi compaiono, se non sbaglio, 'due stesse lettere con differenti soluzioni'? Come si chiama questo argomento? Pdf con una completa discussione sui sistemi e casi particolari? Il procedimento credo qui non conti,ma il risultato

[@melia]

Se un sistema, per almeno una delle incognite, ammette più soluzioni significa che non è un sistema lineare, ma di grado superiore al primo, tipo $\{(x y -3y = 0),(xy+2y=0):}$, che ammette come soluzione le coppie $(3;0)$ e $(-2; 0)$.
Nel caso del tuo esercizio suppongo che il sistema sia lineare, ma la discussione dei parametri non è lineare, sembra di secondo grado.

[Giovanni Mascolo]

Grazie per la risposta. Credo che sia opportuno che riporti per intero l'esercizio
Determinare il rango dei seguenti sistemi lineari
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_2+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$

Parto col chiedermi s'è di "troppo" la terza eq.,quindi:
pongo $a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
... e uguagliando membro a membro ottengo ciò:
$\{(a+b+c=0),(a-c=1),(b+c=1):}$
che come soluzioni da:
$\{(a=-1),(b=3),(c=-2):}$
soluzioni che immetto nella precedente uguglianza (perchè o ottengo subito un'eq. inconsistente o per capire se quella in questione è combinazione lineare delle altre devo immettere le soluzioni,no?):
$a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
e ottengo:
$x_2+x_3 =x_2+x_3$
quindi deduco che la terza equazione è combinazione lineare delle altre, ed arrivo ad un sistema di rango 3 (con 3 eq.)
quindi proseguo
ora ho questo sistema
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$
e mi chiedo se sia ora la seconda equazione ad esser di "troppo"
quindi pongo due numeri che... come da definizione
$a*(x_1+x_2)+b(x_1-x_2+x_3)=x_1+x_3$
e ottengo
$ax_1+ax_2+bx_1-bx_2+bx_3=x_1+x_3$
e uguagliando membro ottengo:
$\{(a+b=1),(a-b=0),(b=1):}$
che come soluzione da:
$\{(b=1),(a=0),(a=1):}$
ed è qui che mi blocco e non se andare avanti o dover già intuire che posso ridurre ulteriormente il rango eliminando quindi $x_1+x_3$. Se devo andare avanti come dovrei proseguire tenendo conto della traccia(riduzione del rango)?

[axpgn]

Ma non puoi usare Gauss? Non ho capito il tuo metodo ...
A me il rango viene $3$ (si può vedere anche ad occhio ... IMHO )

[Cantor99]

Non serve calcolare esplicitamente $a,b,c$, basta ragionare sulla sola matrice incompleta
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
La quarta è di "troppo" perché
\[
A'=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
ha rango 3. Ma in realtà ogni equazione può essere di troppo, nel senso che se ne togli una a caso sempre trovi un sistema equivalente .

[Giovanni Mascolo]

Mi attengo al metodo che si può dedurre dalla definizione-senza quindi tutta la spiegazione precedente, riportata sul libro "Algebra lineare, per matematici" di Manetti-che segue.
"Diremo che un equazione è combinazione lineare delle altre se è la somma delle rimanenti equazioni moltiplicate per opportuni numeri".
Non per forza rimanendo nell'argomento ranghi, quando ottengo un sistema con le soluzioni $\{(b=n),(a=n_1),(a=n_2):}$ (con n numero qualsiasi) come devo continuare o concludere?Non deve capitare o posso continuare...

[Giovanni Mascolo]

Ok, infatti mi scervellavo un pò, cercando teoria su ciò, ma essendo impossibile che potevo trovare.
S'è impossibile non posso eliminare l'equazione "analizzata", allora. E quindi il rango è 3.Giusto? Un sistema impossibile non mi deve importare vista la richiesta del problema, no?
Comunque grazie veramente a tutti, forum fantastico per chi è interessato a questa materia.

[Giovanni Mascolo]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La pagina indicata è quella della dispensa, in alto a sinistra di ogni pagina, o quella calcolata dal pc?

[@melia]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Credo che sia in fondo al capitolo 6, pagina 132 della dispensa