da Giovanni Mascolo » 29/06/2019, 19:41
Grazie per la risposta. Credo che sia opportuno che riporti per intero l'esercizio
Determinare il rango dei seguenti sistemi lineari
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_2+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$
Parto col chiedermi s'è di "troppo" la terza eq.,quindi:
pongo $a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
... e uguagliando membro a membro ottengo ciò:
$\{(a+b+c=0),(a-c=1),(b+c=1):}$
che come soluzioni da:
$\{(a=-1),(b=3),(c=-2):}$
soluzioni che immetto nella precedente uguglianza (perchè o ottengo subito un'eq. inconsistente o per capire se quella in questione è combinazione lineare delle altre devo immettere le soluzioni,no?):
$a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
e ottengo:
$x_2+x_3 =x_2+x_3$
quindi deduco che la terza equazione è combinazione lineare delle altre, ed arrivo ad un sistema di rango 3 (con 3 eq.)
quindi proseguo
ora ho questo sistema
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$
e mi chiedo se sia ora la seconda equazione ad esser di "troppo"
quindi pongo due numeri che... come da definizione
$a*(x_1+x_2)+b(x_1-x_2+x_3)=x_1+x_3$
e ottengo
$ax_1+ax_2+bx_1-bx_2+bx_3=x_1+x_3$
e uguagliando membro ottengo:
$\{(a+b=1),(a-b=0),(b=1):}$
che come soluzione da:
$\{(b=1),(a=0),(a=1):}$
ed è qui che mi blocco e non se andare avanti o dover già intuire che posso ridurre ulteriormente il rango eliminando quindi $x_1+x_3$. Se devo andare avanti come dovrei proseguire tenendo conto della traccia(riduzione del rango)?