Sistema lineare parametrico

[Anasclero]

Buonasera!
Oggi mi sono approcciato per la prima volta ad un sistema lineare parametrico. Ho eseguito i vari passaggi ma ottenendo delle soluzioni piuttosto bizzarre

Riporto qui di seguito il testo più il mio tentativo. Purtroppo il testo è privo di soluzioni, ed in generale ho tutti gli esercizi senza l'ombra delle soluzioni, quindi non so dove sbattere la testa se non qua. Ringrazio già anticipatamente (di cuore).

"Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendenti da un parametro t:
$ { ( 2x1+(2t+2)*x2+x3=0 ),( 2x1+x2+x3+tx4=1 ),( x1+tx2+x3+x4=1 ),( x1-3x2+x3+(t+1)*x4=1 ):} $

a)Stabilire per quali t (appartenenti all'insieme dei numeri reali) il sistema è compatibile
b)In tutti i casi in cui il sistema è compatibile, determinare la soluzione generale


Inizio col scrivere la matrice completa (A|b):
$ ( ( 2 , 2t+2 , 1 , 0 , 0 ),( 2 , 1 , 1 , t , 1 ),( 1 , t , 1 , 1 , 1 ),( 1 , -3 , 1 , t+1 , 1 ) ) $

Eseguo le operazioni di Gauss per determinare il determinate della matrice dei coefficienti (A):

$ R2 rarr R2-R1 $
$ R3 rarr R3 -1/2R1 $
$ R4 rarr R4 - 1/2 R1 $

$ R3 rarr R3 + (1/(-2t-1))*R2 $
$ R4 rarr R4 + ((t+4)/(-2t-1))*R2 $

$ R4 rarr R4 - R3 $

Ottenendo così la matrice a scaletta:

$ ( ( 2 , 2t+2 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -2t-1 , 0 , t , 1 ),( 0 , 0 , 1/2 , (-t-1)/(-2t-1) , (-2t)/(-2t-1) ),( 0 , 0 , 0 , ((-t^2)+2t)/(-2t-1) , (t+3)/(-2t-1) ) ) $

Dunque il determinate della matrice è :

$ det(A|b)=-t^2+2t $

Essendo un sistema di 4 equazioni in 4 incognite, ed essendo il det(A|b) diverso da 0, allora:

$ rk(A)=rk(A|b)=4 $

Pongo il det(A|b)=0, ottengo

$ t*(-t+2)=0 rArr $
Per t diverso da 0 e da 2


Ponendo t=0, ottento la matrice A' :

$ ( ( 2 , 2 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 1 , -3 , 1 , 1 ) ) $

Attraverso Laplace calcolo il determinante (quarta colonna):

$ det(A')= 0+0+1*(-1)^4 (-1)+1*(-1)^5(-1)=0 $

Dunque NON COMPATIBILI.


Ponendo t=2, scrivo la matrice A'': (n.b. riporto anche i coefficienti in seguito ad una delusione nel calcolo del determinante )

$ ( ( 2 , 6 , 1 , 0 , 0 ),( 2 , 1 , 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , -3 , 1 , 3 , 1 ) ) $

Tramite Gauss:
$ R2 rarr R2 - R1 $
$ R3 rarr R3 - 1/2 RQ $
$ R4 rarr R4 - 1/2 R1 $

$ ( ( 2 , 6 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -5 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , -1 , 1/2 , 1 , 1 ),( 0 , -6 , 1/2 , 3 , 1 ) ) $

$ R3 rarr R3 -1/5 R2 $
$ R4 rarr R4 - 6/5 R2 $

$ ( ( 2 , 6 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -5 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1/2 , 3/5 , 4/5 ),( 0 , 0 , 1/2 , 3/5 , -1/5 ) ) $

$ R4 rarr R4 - R3 $


$ ( ( 2 , 6 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -5 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1/2 , 3/5 , 4/5 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $


BENE! Siamo nel caso di riga vuota con termine noto diverso da 0, dunque non ammette soluzioni.

Che posso dire, il punto b in realtà non esiste, o sono una capra?

Cordiali saluti,
Salvatemi

[Anasclero]

Inanzitutto grazie mille per la risposta.
Forse ho capito! Purtroppo, a disposizione ho un solo esempio e tanta teoria.

Allora vediamo se ho capito.

I sistemi sono compatibili per tutti i parametri diversi da 0, 2, -1/2.
Andando a sostituire i vari valori vado a verificare se compatibile (con unica soluzione, indeterminato o non ammette soluzioni.

La cosa che mi ha confuso, è che nell'esercizio svolto dalla mia professoressa, ha iniziato con il ricavarsi il determinate della matrice dei coefficienti.
Posto questo uguale a zero, si trova i valori da assegnare al parametro per annullare il determinante.
Successivamente va a verificare che in un caso è compatibile, mentre nell'altro incompatibile.
A questo punto, la soluzione generale la va a determinare solo per il caso in cui è compatibile per il parametro che annulla il determinante tramite il metodo di Cramer. Ma non lo fa per i valori che non lo annullano.
Sinceramente sono abbastanza confuso.

Mi sembra una tipologia di esercizio piuttosto meccanica.
Seguendo il teorema di Rouché-Capelli, dovrei avere una linea guida piuttosto precisa.
Comunque ho visto che un utente del forum ha messo una lezione piuttosto dettagliata sulla risoluzione dei sistemi lineari non parametrici. Magari ora gli do un occhiata e cerco di capire di più.
Grazie comunque!

[Bokonon]

Ciao Anasclero
Se posso, vorrei darti una visione geometrica di cosa sta accadendo quando risolvi un sistema.
Per generare l'intero $R^4$ bastano 4 vettori lin. indip. che quindi formano una base.
Prendiamo il sistema in oggetto e vediamo cosa significa. Riscritto in forma matriciale è:
$ ( ( 2 , 2t+2 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 , t ),( 1 , t , 1 , 1 ),( 1 , -3 , 1 , t+1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ) ) = ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $
oppure in forma equivalente:
$ x_1( ( 2 ),( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) +x_2( ( 2t+2 ),( 1 ),( t ),( -3 ) )+x_3( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+x_4( ( 0 ),( t ),( 1 ),( t+1 ) )=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ (1)
In questa forma si comprende chiaramente il problema. Leggendola c'è scritto "trovare i coefficienti della combinazione lineare delle 4 colonne che restituiscano il vettore $B=(0,1,1,1)$".
Per valori di t per cui le 4 colonne sono lin. indip. allora abbiamo una base di $R^4$. Esiste un vettore di $R^4$ che non possa essere generato da una sua base? Ovviamente no: esisterà sempre una combinazione lineare che ci restituirà B e sarà unica.
Quindi il problema si sposta sui potenziali valori di t per cui le colonne non sono lin. indip.
In queste casisitiche le colonne generano un sottospazio di $R^4$ (l'immagine) e se il vettore B non ne fa parte allora non esiste una combinazione lineare che lo generi. Se invece ne fa parte allora, grazie al fatto che almeno una colonna (=almeno un grado di libertà) è comb. lin. delle altre, avremo infinite soluzioni.

Tornando all'esercizio in se, i calcoli sono esatti e la prof ha deciso di calcolare il determinante della matrice a scalini (perchè è semplice, basta moltiplicare gli elementi sulla diagonale). Però anch'io preferisco fare come il buon Arnett e guardare i pivot e vedere per quali valori si annullano.
Il primo pivot è un numero, quindi non si annulla mai.
Il secondo pivot è $-2t-1$ e si annullerebbe per $t=-1/2$ ma, avendo diviso per quella quantità, abbiamo assunto che non si possa annullare. Il terzo pivot è un numero, quindi non si annulla mai.
Infine il quarto pivot si annulla per $t=0$ e $t=2$. In questi casi il rango della matrice incompleta è 3 (quindi l'immagine ha dimensione 3) ma l'ultima riga della matrice completa non si annulla interamente. Quindi per questi valori di t il nostro vettore B non appartiene all'immagine e il sistema non ha soluzione.

Andando a controllare cosa accade per $t=-1/2$ si scopre che le colonne sono lin. indip. quindi il sistema ha un'unica soluzione $(-18/5, 2/5, 34/5, -2)$. Se sostituisci in (1) vedrai che la combinazione restituisce B.

Per la soluzione generale basta risolvere la riduzione a scalini che hai scritto al variare di t.

[Anasclero]

Aaah perfetto! Mi hai chiarito ulteriori dubbi. Mi metto subito al lavoro con altri esercizi. Penso proprio che approfitterò ancora del vostro prezioso aiuto! Grazie ancora