Matrice diagonalizzabile

Messaggioda Anasclero » 03/07/2019, 18:14

Buonasera, sono di nuovo io! Inanzitutto ringrazio per l'aiuto datomi sui sistemi lineari con parametro.
Oggi, mi presento con una tipologia di esercizio diversa, presa sempre da una delle tante simulazioni prive di risoluzioni :D .
Sicuramente, su questa tipologia mi sento meno confuso, in ogni caso un parere da una mente che conosce bene la materia penso che possa solo essere di aiuto.

Inizio :D

Si consideri la matrice:

$ ( ( 0 , 1 , b^2-1 ),( 1 , 0 , b-1 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $

a)Determinare gli autovalori di A con le relative molteplicità
b)Determinare al variare di $ b in R $ le molteplicità geometriche degli autovalori di A e dire per quali valori di $ b in R $ la matrice A è diagonalizzabile

Partendo con il calcolare gli autovalori, vado a sottrarre alla diagonale principale "h", che indicherà appunto i miei autovalori:

$ ( ( -h , 1 , b^2-1 ),( 1 , -h , b-1 ),( 0 , 0 , -1-h ) ) $

Tramite Laplace calcolo il determinante, ovvero il polinomio caratteristico che uguagliato a zero mi consentirà di trovare gli autovalori:

$ detA_h=(-1-h)*(-1)^6* | ( -h , 1 ),( 1 , -h ) | =(-1-h)*(h^2-1) $

$ (-1-h)*(h^2-1)=0 $

Dunque avremo:

$ h_1=-1 rarrma=2 $
$ h_2=2 $

Vado a verificare per quali valori di $ b in R $ A è diagonalizzabile.

N.B: Non avendo un autovalore che dipende da b, posso immediatamente dire che per b=2 la matrice A non è diagonalizzabile

Stesso discorso non vale per h=-1 in quanto ha molteplicità algebrica =2, ovvero è un autovalore doppio.
Dunque se a tale autovalore doppio $ h_1 $, corrispondono due autovettori distinti, la matrice A sarà diagonalizzabile per b= -1.
Verifichiamo:

$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Tramite il teorema degli Orlati, si verifica ad occhio che il $ rk(A')=2 $
La molteplicità geometrica:

$ mg= dim(A) - rk(A') = 3 - 2 = 1 rarr ma != mg $
La matrice A per b= -1 non è diagonalizzabile.

Per concludere, la matrice A è diagonalizzabile: $ AA b in R \\ {-1,2}; $


Spero di avere svolto l'esercizio in modo chiaro e corretto in modo che possa essere di aiuto per le anime pie come me che vedono per la prima volta questi esercizi. Nel caso contrario, necessito di aiuto :roll:

I miei più sinceri saluti!
Anasclero
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Re: Matrice diagonalizzabile

Messaggioda Bokonon » 03/07/2019, 19:33

Anasclero ha scritto: $ (-1-h)*(h^2-1)=0 $

Fino a qua è ok e si può riscrivere come $ (h+1)^2(h-1)=0 $
Da cui abbiamo due autovalori coincidenti $h_1=h_2=-1$ e $h_3=1$
Non dipendono da b. E se fossero stati tre autovalori distinti il problema sarebbe già concluso, ovvero la matrice sarebbe stata sempre diagonalizzabile. Ma ci sono due radici coincidenti e per questo autovalore dobbiamo poter estrarre due autovettori ($h_3=1$ non ci interessa, perchè sappiamo già che estrarremo un autovettore).

Guardiamo la matrice per $h=-1$
$ ( ( 1 , 1 , b^2-1 ),( 1 , 1 , b-1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Vogliamo che abbia rango 1 affinchè il kernel abbia dimensione 2...ovvero poter estrarre 2 autovettori.
Guardandola, la prima colonna e la seconda sono lin. dip.
E adesso ci chiediamo per quali valori di b anche la terza è lin. dip con le altre due colonne.
Nella sostanza la terza colonna dev'essere del tipo $k*( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
La risposta balza agli occhi: $b=1$ e $b=0$ ovvero quando $b^2-1=b-1$

P.S. Quindi la risposta finale è "la matrice è diagonalizzabile solo per quei due valori di b"
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Re: Matrice diagonalizzabile

Messaggioda Anasclero » 03/07/2019, 20:07

Effettivamente l'errore di distrazione che un autovalore veniva 2 me lo potevo risparmiare ahah.

Comunque per chiarire un concetto, dalla teoria mi sembrava di avere capito che se il parametro:

Se si ottiene un autovalore doppio, ossia con molteplicità algebrica=2, bisogna andare a sostituire a tale parametro il valore del doppio autovalore ottenuto. Si riscrive la matrice e si va a verificare se la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica. In tal caso la matrice A, per $ a=h $ è diagonalizzabile, altrimenti no. Corretto?

Forse ho capito male questa parte della teoria...
Troviamo gli autovalori.
In generale possiamo affermare:
1)Se l'autovalore ha ma=1, sicuramente per quel valore la matrice è diagonalizzabile.
2)Se dovessimo trovare autovalori doppi, allora dobbiamo andare a verificare se questi due hanno due autovettori distinti.
2.1)Per effettuare tale verifica, vado a eguagliare $ b=h $. (parametro=autovalore(doppio)
Successivamente sostituisco all'interno della matrice tali valori e vado a verificarne il rango, ad esempio con il teorema degli Orlati. Determino la molteplicità geometrica $ mg = dim(A) - rk(A') $ (dove A' è la matrice dove sono stati sostituiti gli opportuni valori) e vado a verificare se $ mg=ma $. Se ciò accade allora la matrice è diagonalizzabile, altrimenti no.

Nel esempio pratico per $ h_3=1 $ , la matrice è diagonalizzabile.
Per $ h_1=-1 $, effettuo la verifica del punto 2.1
Essendo la $ dim (A)=3 $ e il $ rk(A')=2 $ , per tale valore la matrice non è diagonalizzabile ( $ mg != ma $ )

Perdona la mia ignoranza, ma dalla teoria fatta mi verrebbe da dare come risposta finale:

A è diagonalizzabile: $ AA b in R \\ {-1} $

Perchè tu invece affermi che è diagonalizzabile solo per $ b=0 $ e $ b=1 $ ?

Grazie sempre per la pazienza!
Anasclero
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Re: Matrice diagonalizzabile

Messaggioda Bokonon » 03/07/2019, 20:52

Anasclero ha scritto:Nel esempio pratico per $ h_3=1 $ , la matrice è diagonalizzabile.

Partiamo da qua.
Quella affermazione non vuol dire nulla. La matrice è diagonalizzabile se trovi una base di autovettori...e non un solo autovettore. Presa una matrice nxn, è diagonalizzabile se si trovano n autovettori che formano una base in grado di generare tutto $R^n$. Ripeto, tutto $R^n$.
Lo scopo finale è un cambio di base (assai speciale) tale per cui $A=SDS^(-1)$ dove la matrice D associata ad A è una matrice con elementi sulla sola diagonale. Punto. Non ci sono misteri!

Gli autovettori, per definizione, sono i vettori x tali che $Ax=lambdax$ quindi rispetto all'applicazione A restano se stessi a meno di uno scalare (geometricamente parlando $x$ e $lambdax$, stanno sulla medesima retta).
Riscrivendo l'equazione come $(A-lambdaI)x=Kx=0$ ci chiediamo come ricavarli. E' un semplice sistema omogeneo, le cui soluzioni rappresentano quindi il kernel di K. Ora, visto che non ci interessa la soluzione banale x=vettore nullo, l'unico modo per avere un kernel di dimensioni diverse da zero è imporre (scaltramente) che il $det(K)=0$ al fine di ricavare i valori di $lambda$ (gli autovalori) per cui K è singolare (ovvero ha rango $<n$).

Questa è la teoria. Si risolve $det(K)=0$ e si ottiene il polinomio caratteristico di ordine n che avrà certamente n radici in campo complesso (per il teorema fondamentale dell'algebra).
L'obiettivo è ricavare n autovettori e le casistiche possibili in campo reale sono:
a) ci sono delle radici complesse. Morale non è diagonalizzabile
b) tutte le radici sono reali e distinte: ottimo, significa che (per un altro teorema) otterremo esattamente n autovettori, quindi riusciremo a trovare una base di $R^n$ e potremo cambiare di base A ottenendo una matrice associata diagonale.
c) tutte le radici sono reali ma alcune sono coincidenti. Morale, se per quelle radici coincidenti non troveremo tanti autovettori quante sono le molteplicità algebriche, non riusciremo a diagonalizzare la matrice.

Come ricavare gli autovettori? Sostituisci l'autovalore in $K$ (e non il suo doppio o triplo o quadruplo etc etc...solo l'autovalore) e ottieni una matrice singolare e risolvi il sistema omogeneo $Kx=0$. In altre parole, trovi una base per $ker(K)$
Nel caso b) troverai esattamente n autovettori e quindi n kernel di dimensione 1.
Nel caso c) se la dimensione del kernel non è pari alla molteplicità algebrica di un autovalore, allora ci si ferma e si scrive "non è diagonalizzabile".

Per risolvere un sistema omogeneo e/o anche per vedere un rango, usa Gauss Jordan (che fa entrambe le cose simultaneamente).

Infine, negli esercizi con parametro, ti si chiede di aver capito quanto sopra e di applicarlo. Una volta che hai compreso cosa stai facendo, saprai anche cosa fare e cosa guardare in ogni situazione...per questo è necessaria la teoria.
La scaletta logica è quella sopra, usala!
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Re: Matrice diagonalizzabile

Messaggioda Anasclero » 03/07/2019, 21:04

Grazie tante! Darò una ripassata agli argomenti meno chiari e riprovo a cimentarmi in questa tipologia di esercizi!
Anasclero
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