Sistemi lineari

Messaggioda matematix11 » 04/07/2019, 19:45

Buon giorno a tutti,
ho trovato questo quesito e mi chiedevo: quale risposta mettereste voi?

Sia $ A in R^(nxn) $ la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle.
Si può affermare che

1. det(A) è non nullo
2. per ogni $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha infinite soluzioni
3. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b è risolubile
4. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha una soluzione


Io ho optato per la seconda in quanto, parlando di soluzioni nel testo del quesito, ho supposto det = 0. Ho quindi pensato ad infinite soluzioni dipendenti almeno da 1 parametro. Cosa avreste messo voi?

Ultimo quesito:
Data una generica matrice $ A in R^4 $ di cui sappiamo solo che $ A ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = A ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ allora essa ammette come autovettore (0,1,0,-1) trasposto?

Grazie mille per l'attenzione, cordiali saluti.
matematix11
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Re: Sistemi lineari

Messaggioda arnett » 05/07/2019, 13:11

No, risolvi $((1,2),(1,2))((x),(y))=((1),(0))$.

Non si capisce tra l'altro la differenza tra terza e quarta opzione.
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
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Re: Sistemi lineari

Messaggioda Bokonon » 05/07/2019, 15:51

matematix11 ha scritto:Sia $ A in R^(nxn) $ la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle.

1. det(A) è non nullo
2. per ogni $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha infinite soluzioni
3. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b è risolubile
4. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha una soluzione


Dato che $Ax=0$ ammette soluzioni non banali, sappiamo che la $dim Ker(A)!=0$, quindi A è una matrice singolare.

1. Falsa, perchè ha $det(A)=0$
2. Falsa, perchè è vera solo per i b che stanno nella sua immagine e non per ogni b
3. Vera, per i b che stanno nella sua immagine
4. Falsa, perchè il sistema $Ax=b$ ha un'unica soluzione solo quando A ha rango massimo, ovvero $det(A)!=0$

Per il secondo problema non si capisce la domanda. Posta l'intero problema.
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