Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 05/07/2019, 12:50

Salve.Studiando topologia generale, mi sono trovato davanti a un esercizio che non so come risolvere. L'esercizio ricgiede di dimostrare che "una funzione tra spazi topologici $f:X->RR $ è semicontinua superiormente se e solo se per ogni $x \in X$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $f(y)<f(x)+ \epsilon$ per ogni $y \in U$".
Ora io delle funzioni tra spazi topologici semicontinue superiormente conosco solo la seguente definizione:"Sia $X$ uno spazio topologcio, diremo che $f:X->RR$ è semicontinua superiormente se $f^-1(-oo,a)$ è aperto in $X$ per ogni $a \in RR$".
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento su come iniziare a procedere?
mklplo
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda caulacau » 05/07/2019, 13:57

L'insieme degli $y$ tali che \(fy < fx +\epsilon\) non è altro che \(f^{-1}(-\infty, fx+\epsilon)\), non trovi? Da qui, una implicazione è immediata.

Viceversa, supponi che $f$ soddisfi quella proprietà: vuoi mostrare che è continua rispetto alla topologia \(\{(-\infty, a) \mid a \in \mathbb R\}\)...
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 05/07/2019, 14:56

Grazie per l'aiuto, provo a pensarci un po'.
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 05/07/2019, 15:19

Per la prima implicazione:
Se $f^-1(-oo,a)=A$ è un aperto, allora esiste un insieme $U$, tale che $U$ sia intorno di $x \in A$. Sapendo che $A \subset U$ otteniamo che $f(A) \subset f(U)$ e quindi $(-oo,a) \subset f(U)$ e quindi prendendo $f(U)=(-oo,b)$ dove $b>a$ e poi ponendo $b=f(x)+\epsilon$ otteniamo che $f(U)=(-oo,f(x)+\epsilon)$ e quindi $U=(-oo,f(x)+\epsilon)$. Dunque se $f$ è semicontinua superiormente allora per ogni $x \in X$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno U di $x$ tale che $U=f^-1(-oo,f(x)+\epsilon)$.
Spero che i passaggi siano corretti.
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 05/07/2019, 15:32

Per la seconda implicazione:
Si deve dimostrare che $f^-1(-oo,a)$ è aperto in $X$ e cioè che $f^-1(-oo,a)$ è intorno di ogni suo punto. Se $x \in f^-1(-oo,a)$ allora $(-oo,a)$ è intorno di $f(x)$ ed esiste un intorno A di x tale che $f(A) \subset (-oo,a)$ e ciò equivale a dire che $A \subset f^-1(-oo,a)$ e quindi $f^-1(-oo,a)$ è intorno di ogni suo punto ed è quindi aperto.
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 08/07/2019, 19:56

Spero di non aver scritto qualche cosa che non ha senso
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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda anto_zoolander » 08/07/2019, 22:28

Fai un esercizio più in generale; ti verrà ancora meglio ragionarci.

Se hai una funzione tra due spazi topologici $f:X->Y$ e $B_(f(x_0))$ è un sistema fondamentale di intorni di $f(x_0)$ allora

$f$ è continua in $x_0$ se e solo se $forall J in B(f(x_0))exists U in I(x_0): f(U)subsetJ$

Ora se consideri che $B_(f(x_0))={(-infty,f(x_0)+epsilon): epsilon>0}$ è una base locale di $f(x_0)$

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Re: Dubbio sulle funzioni semicontinue superiormente in topologia

Messaggioda mklplo » 10/07/2019, 13:32

Grazie, in pratica con questo hai dimostrato sia la prima che la seconda implicazione, giusto?
Per sapere, la dimostrazione che avevo fatto era confusa o totalmente sbagliata?


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