Sistemi lineari parametrici con determinanti spropositati

Buonasera, mi rivolgo nuovamente a voi poichè mi sto rendendo conto, facendo le varie simulazioni di esame, che i sistemi lineari parametrici hanno determinanti enormi e che richiedono una quantità di tempo enorme per essere calcolati.
Vorrei capire se per caso, il nostro professore voglia metterci alla prova, tramite delle nozioni di teoria a me mancanti (ho fatto delle ricerche sia su internet che sul libro ma non ho trovato niente) che permettano di risolvere il determinante in fretta. Anche perchè abbiamo solo due ore per risolvere un sistema lineare parametrico, una applicazione lineare solitamente $ R^4 rarr R^3 $, andare a discutere la diagonalizzibilità di una matrice con parametri, determinare un piano contenente una retta che solitamente è parallela ad un altra, un esercizio su una conica, e ultimo discutere per quale $ x $ il numero immaginario frazionario è nullo.

Questa è la matrice $ A|b $:

$ ( ( 2 , t , 3 , 4 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1 , 1 ),( 1 , 2 , t+1 , 5 , -1 ),( t+2 , 4 , 6 , 8 , 0 ) ) $

Ho provato più volte:

Tramite Laplace andando a prendere la seconda riga, e veniva una mostruosità
Allora ho detto, proviamo a ridurla a scalini tramite Gauss. L' ultimo termine della 4 riga mi veniva di quarto grado con coefficiente e doveva essere a sua volta moltiplicato con gli altri pivot.
E' da questa mattina che tento e ritento, fino a quando ho preso WolframAlpha, ho riportato la matrice ed effettivamente viene:

$ det(A)= -t^3 -11t^2 + 56t -60 $ , quindi almeno non sono pazzo

Allora mi sono detto, riduciamola con Ruffini, dopo un altra buona parte di tempo trovo che si annulla per -15.

Conclusione, tutto ciò è normale o sono io che sto totalmente sbagliando il modo in cui mi approccio?

A me con Gauss nell'ultima riga ho solo polinomi di secondo grado (che tra l'altro poi conducono ad un'equazione di primo)
L'ho svolta velocemente, senza finire, quindi può essere tutto sbagliato, però il punto che vorrei sottolineare non è questo ma il fatto che, per esempio usando Gauss, è importante, al fine di facilitare la risoluzione, l'ordine con cui ridisponi le righe ed anche i coefficienti che usi per moltiplicare le righe.

Hai qualche consiglio a riguardo? Ovvero come faccio a capire qual'è la forma più conveniente affinchè lo sviluppo risulti più semplice? Le ho provate veramente tutte...

Non sono un esperto (e sicuramente passerà di qui qualcuno che ne sa ), io ti posso solo dire che quando uso Gauss (soprattutto svolto "a mano" ) cerco di mettermi nelle condizioni meno "complicate" … per esempio in questo caso ho riordinato mettendo le righe con l'uno per prime (quella con gli zeri per prima) e per ultima quella con il parametro.
E lo rifaccio ad ogni passaggio …
Un'altra cosa che faccio è quello di moltiplicare entrambe le righe che sto trattando per opportuni coefficienti che mi rendano i primi termini uguali in modo da limitarmi poi a sottrarre o sommare le due righe (quando c'è un parametro si dovrà tener conto di cosa succede quando si annulla ma questo succede sempre)

Ti ringrazio a prescindere ovviamente.

Detto sinceramente non ho ben capito come le riordini. Ho 3 righe inzialmente con i parametri. Stando a quello che hai detto conviene scambiare $ R2 $ con $ R1 $, ovvero cercare di avere come righe superiori quelle più semplici possibili?

$ ((1, 0, 0 ,-1), (2, t, 3, 4) ) $

E qui vado a moltiplicare $ R_1 * 2 $
E cosi sottraggo semplicemente $ R_2 rarr R_2 - R_1 $

Poi riordino sempre con lo stesso criterio e vado avanti?

Non è che io abbia un criterio preciso, come detto cerco solamente di semplificarmi la vita …

In questo caso, il primo riordino è 2, 3, 1, 4; poi moltiplico la nuova prima riga per $1, 2, t+2$ e la sottraggo alle altre.

Ottengo $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 , 1 ), ( 0 ,2 , t+1 , 6 , -2 ),( 0 , t , 3 , 6 , -2 ),( 0 , 4 , 6 , 10+t , -(t+2) ) ) $

Riordino così 1, 4, 2, 3

Moltiplico al riga tre per $2$ e le sottraggo la riga due
Moltiplico la riga due per $t$ e la riga quattro per $2$ così da sottrarre l'una all'altra.

Ottengo $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 , 1 ), ( 0 ,2 , t+1 , 6 , -2 ),( 0 , 0 , 2(t-2) , -(t-2) , t-2 ),( 0 , 0 , -2(t-2) , (t-2)(t+12) , (t-2)(t+4) ) ) $

E qui puoi concludere …