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Salve ho un problema con la definizione di gruppi topologici

Un gruppo topologico $G$ è un gruppo $(G,\cdot)$ in cui le applicazioni
\[
f : G\to G \quad g\to g^{-1} \qquad g : G^{2}\to G \quad (g,h)\to gh
\]
sono continue

Non capisco come è fatta una tale topologia : se non conosco gli aperti di $G$, come faccio a valutare la continuità di $f,g$?

Avevo pensato a questa interpretazione

Un gruppo $(G,\cdot)$ si dice topologico se ammette una topologia rispetto la quale $f,g$ sono continue

Ma le definizioni mi sembrano diverse, anzi la mia nemmeno è troppo precisa perché la topologia discreta rende ogni gruppo un gruppo topologico

Penso di aver capito, grazie mille

Ma esistono gruppi topologici finiti non strutturati con la topologia discreta o indiscreta? Non ne riesco a trovare

No: fissa un elemento \(\displaystyle g\in G\) (gruppo finito) e considera la funzione \(\displaystyle\alpha_g:h\in G\to h\cdot g\in G\); vedrai che questa dev'essere continua, e...

E? Io non l'ho capito…
Non so la risposta alla tua domanda Cantor, ma quello che posso dirti è che se la topologia è $T_0$ allora è anche $T_2$ nei gruppi topologici, quindi in questo caso sarebbe discreta.

Se $G$ ha la topologia banale, è banale anche la topologia su $G\times G$; allora ogni mappa $G\times G \to G$ è continua.

Alora il risultato non è: ogni gruppo topologico finito ha la topologia discreta; piuttosto, ogni gruppo topologico T2 che sia finito, è discreto.

Quello che si chiedeva Cantor99 è se esistono gruppi topologici finiti in cui la topologia non sia quella discreta o indiscreta.

j18eos ha scritto:No: fissa un elemento \(\displaystyle g\in G\) (gruppo finito) e considera la funzione \(\displaystyle\alpha_g:h\in G\to h\cdot g\in G\); vederai che questa dev'essere continua, e...

Provo. Se $G$ ha ordine $m>1$, sia $A$ un aperto di $G$ di ordine $n<m$ : allora
\[
\alpha^{-1}_{g}(A)=\{ h\in G : h\cdot g\in A \}
\]
è un aperto. Posto $A=\{a_{1},...,a_{n}\}$ ho
\[
\alpha^{-1}_{g}(A)=\bigcup_{i=1}^{n} \alpha^{-1}_{g}(a_{i})=\bigcup_{i=1}^{n}\{g^{-1}a_{i}\}
\]
Pertanto $A$ è aperto se e solo se $g^{-1}A$ è aperto. Non saprei come concludere ma vorrei fare vedere tutti le singolette di $G$ sono aperte, da questo potrei concludere...

Sia \(\displaystyle G\) un gruppo topologico finito, e supponiamo che la sua topologia gruppale non sia banale; per ipotesi
\[
m:(g,h)\in G\times G\to gh\in G
\]
è una funzione continua rispetto alle topologie prodotto e gruppale; in particolare, fissato \(\displaystyle g\in G,\,\alpha_g=m_{|G\times\{g\}}\) è una funzione continua, perché restrizione di una funzione continua.

Per semplicità siano \(\displaystyle G=G_0 \) ed \(\displaystyle U_0\) un intorno non banale di \(\displaystyle e_G\), mediante le \(\displaystyle\alpha_g\) puoi costruire un intorno non banale per ogni punto di \(\displaystyle G_0\).

Definito \(\displaystyle G_1=U_0\cap U_0^{-1}\), dove \(\displaystyle U_0^{-1}=\{g\in G\mid g^{-1}\in U_0\}\); ottieni che \(\displaystyle G_1\) è un sottogruppo proprio ed aperto di \(\displaystyle G_0\) con topologia non banale e non discreta.

Ripetendo questo ragionamento per \(\displaystyle n\) volte, otterrai che \(\displaystyle G_n=\{e_g\}\); quindi \(\displaystyle e_G\) è un punto aperto di \(\displaystyle G\), e utilizzando le \(\displaystyle\alpha_g\) ottieni che ogni punto di \(\displaystyle G\) è aperto.

Ti lascio tutti dettagli per esercizio.

P.S.: spero che a causa della fretta non abbia sbagliato qualche dettaglio...

Se $f:X to Y$ è una funzione e $Y$ ha una topologia $T$ la famiglia delle preimmagini via $f$ degli elementi di $T$ è una topologia su $X$. Applica questo ragionamento alla proiezione canonica $f:G to G//N$ dove $N$ è un sottogruppo normale di $G$ e $G//N$ ha la topologia discreta.