Vettori, basi e span

[blupanda]

Salve a tutti.
Penso di non aver capito il concetto di base e di span e non ho trovato nessuna discussione che me lo chiarisse. Visto che problemi simili mi si ripresentano spesso nella preparazione dell'esame che devo dare ho pensato di chiedervi una mano per cercare di capire e in futuro arrangiarmi.
Quindi ringrazio già chiunque possa aiutarmi.
Il testo del problema è riportato nell'immagine

[caulacau]

Metti i vettori $v_i$ in una matrice $3\times 3$; fai il determinante di questa matrice; sarà un polinomio in $k$; trova gli zeri di questo polinomio, quei valori di $k$ sono quelli per cui $v_1$ è linearmente dipendente dagli altri due. Quando $k$ assume quei valori, qual è la dimensione dello spazio \(\langle v_1,v_2,v_3\rangle\)? Può essere meno di 2?

[blupanda]

Grazie per aver risposto così velocemente

okay, ho trovato che k=-1 è il valore che rende la v1 linearmente dipendente dagli altri due, quindi se ho capito bene non una base di V.
Quindi ora costruisco una matrice con al posto di un generico k il valore -1 e vedo se c'è la possibilità di eliminare una riga.
se si, allora la dimensione è 2, se invece non c'è possibilità (come credo che sia) la dimensione è 3, giusto?

un'altra cosa: la seconda domanda in cui si ipotizza che B non sia una base di V come si risolve? Ho pensato di sostituire -1, porre la matrice uguale a (x, y, z), ma poi non ho ben chiaro come andare avanti