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Retta polare e quadrica

08/07/2019, 18:50

Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di Geometria 2 e mi sono imbattuta nel seguente esercizio:

"Assegnata la seguente quadrica $ Q:x^2+y^2+2xt-2yz=0 $ di $ P_3(C) $ , si determini la retta polare di $ r: { ( x=0 ),( z=0 ):} $ rispetto alla quadrica $ Q $ "

Io l' ho risolto cosi:

Ho preso due punti qualsiasi appartenenti alla retta $ r $, $ A (0,1,0,1) $ e $ B (0,-1,0,1) $, dopodiché ho determinato i piani polari di $ A $ e $ B $ rispetto a $ Q $ come segue

$ pi _A: (0,1,0,1)[ ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ] ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) $

da cui $ pi _A: x+y-z=0 $

e
$ pi _B: (0,-1,0,1)[ ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ] ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) $

da cui $ pi _B: x-y+z=0 $

L'intersezione di questi due piani, ovvero la retta

$ r':{ ( x+y-z=0 ),( x-y+z=0 ):} $

è la polare della retta $ r $

Si procede in questo modo oppure ho sbagliato qualcosa?
Spero possiate aiutarmi a capire se questo tipo di risoluzione è corretto :(

Re: Retta polare e quadrica

08/07/2019, 19:19

Stai usando il fatto che la retta polare di una retta \(P\lor Q\) è l'intersezione delle polari di $P$ e di $Q$; questo segue dal fatto che ogni quadrica $\mathcal Q$ induce un'anti-isomorfismo \(\mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V^\star)\) dato appunto dal considerare la polare mediante $\mathcal Q$ di un punto $P$ (o di un sottospazio: in tal caso questo diventa un antimorfismo di reticoli completi, estendendosi ad una mappa tra lo spazio dei sottospazi $k$ dimensionali per ogni \(1\le k\le \dim V\)).

Re: Retta polare e quadrica

08/07/2019, 19:24

caulacau ha scritto:Stai usando il fatto che la retta polare di una retta \(P\lor Q\) è l'intersezione delle polari di $P$ e di $Q$; questo segue dal fatto che ogni quadrica $\mathcal Q$ induce un'anti-isomorfismo \(\mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V^\star)\) dato appunto dal considerare la polare mediante $\mathcal Q$ di un punto $P$ (o di un sottospazio: in tal caso questo diventa un antimorfismo di reticoli completi, estendendosi ad una mappa tra lo spazio dei sottospazi $k$ dimensionali per ogni \(1\le k\le \dim V\)).


si, quindi se al compito lo svolgo in questo modo va bene?
grazie per la risposta :)
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