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Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia

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Determinare spazio vettoriale U+V

10/07/2019, 12:57

Ciao a tutti,
ho visto lo svolgimento di alcuni esercizi di algebra lineare, e mi pare che quando viene chiesto di calcolare il sottospazio somma come ad esempio \(\displaystyle U + V \) quello che viene fatto è trovare una base del sottospazio utilizzando una base di U ed una di V.
Quello che non mi è chiaro del tutto è perchè viene trovata una base per determinare il sottospazio.
Credo sia perchè conoscendo una base si conosce l'intero spazio, o sottospazio, vettoriale.
Mi chiarite la questione in merito?

Grazie!

Re: Determinare spazio vettoriale U+V

11/07/2019, 02:25

Ciao!

Per capire il concetto ti basta fare il seguente ragionamento
Se $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_U={u_1,...,u_m}$ sono basi di $V,U$ si puó notare che

$w in V+U => w=v+u=sum_(i=1)^(n)lambda_iv_i+sum_(j=1)^(m)mu_ju_j$

Questo ti dice che ogni vettore di $V+U$ si scrive come combinazione lineare dei vettori delle basi di $V$ e $U$ ovvero che

$V+U= <<v_1,...,v_n,u_1,...,u_m>>$

A questo punto scarti i vettori che dipendono linearmente da tutti gli altri e ti trovi una base

questo procedimento serve per non avere diciamo più parametri del necessario.
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