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Rendere intelligente il mio approccio ai problemi di Algebra Lineare

11/07/2019, 17:17

Salve, credo che il mio approccio nel risolvere i problemi più banali di Algebra Lineare sia troppo meccanico. Per spiegare tutto mostrerò un esempio con un esercizio e il tipo di ragionamento che faccio.

Testo

Siano \(\displaystyle v_1 = (2, 1, 0),\ v_2 = (0, 1, 1),\ v_3 = (1, 0, 2) \in \mathbb{R^3}\) e sia \(\displaystyle \mathcal{A} = [v_1, v_2, v_3] \) la corrispondente base di \(\displaystyle \mathbb{R^3}\). Studiare l'endomorfismo \(\displaystyle f: \mathbb{R^3}\ \rightarrow \mathbb{R^3}\ \) tale che:
\(\displaystyle f(v_1) = 2v_1 + v_2 \\ f(v_2) = v_1 + 2v_2 - v_3 \\ f(v_3) = v_1 - v_2 + v_3 \)

Mio approccio

La prima cosa che noto è che ho una applicazione lineare definita con le immagini di una base. Voglio conoscere immagine e nucleo, quindi penso subito a calcolare la matrice associata alla base \(\displaystyle \mathcal{A} \) condivisa da entrambi gli spazi in quanto l'a.l. è un endomorfismo.
Per fare ciò mi servono le coordinate delle immagini delle basi del dominio espresse secondo la base del codominio (in questo caso uguali) di conseguenza secondo la definizione mi viene in mente di organizzare un sistema in modo che

\(\displaystyle [f(v_i)]_\mathcal{A} = a_i(v_1) + b_i(v_2) + c_i(v_3)\) uguagliando questa combinazione lineare al vettore di turno di cui voglio trovare le coordinate a, b, e c. Dovrei risolvere tre sistemi, uno per immagine che il problema mi da a disposizione, ma le coordinate risultanti non c'entrano niente con quelle fornite dal libro che sono

\(\displaystyle [f(v_1)]_\mathcal{A} = (2, 1, 0) \\ [f(v_2)]_\mathcal{A} = (1, 2, -1) \\ [f(v_3)]_\mathcal{A} = (1, -1, 1) \)

Anche se avessi avuto questi risultati, li avessi messi in una matrice (un vettore di coordinate per ogni colonna), avessi fatto la riduzione gaussiana qui sarebbe iniziata la parte più meccanica che mai:

  • So che il rango della matrice associata tra delle basi scelte equivale alla dimensione dell'immagine dell'applicazione, e questo ci vuole poco a impararlo. Quello che non so è perché le colonne in cui nella matrice ridotta si trovano i pivot ci indicano che le stesse colonne nella matrice di coordinate non ridotta sono linearmente indipendenti E i vettori a cui si riferiscono, ovvero le immagini delle basi, formano a loro volta una base dell'immagine. Secondo questo ragionamento mi basterebbe usare le posizioni dei pivot della matrice associata ridotta per trovare una base dell'immagine, e qualcosa mi puzza (probabilmente il fatto che io non abbia afferrato bene il concetto)
  • Non riesco a capire, pur avendo letto Algebra Lineare for Dummies, nel concreto come si calcola il nucleo dell'applicazione lineare. In particolare l'esercizio prosegue con delle equazioni racchiuse come criteri di un insieme che dovrebbero corrispondere a un sistema, e alla fine esce fuori un vettore in vero e proprio formato numerico da cui generare il sottospazio del nucleo. Secondo il libro il nucleo è definito da \(\displaystyle Ker f = \mathcal{L} ((1, 0, -3)) \) ma non avrei assolutamente idea del modo in cui si arriva a tale conclusione.

Grazie a chiunque decidesse di aiutarmi.

Re: Rendere intelligente il mio approccio ai problemi di Algebra Lineare

11/07/2019, 23:00

Ciao!

Fondamentalmente ti sta dando l’applicazione “matriciale” associata che è

$L(X)=[(2,1,1),(1,2,-1),(0,-1,1)]*X$

Rispetto alla base $B$ sia in ingresso che in uscita

Il nucleo lo trovi cercando le soluzioni di $A*X=0$

A occhio viene ${(x=-y),(z=y):}$ quindi $X=[(-y),(y),(y)], y in RR$

Quindi si ottiene $Ker(A)=<<[(-1),(1),(1)]>>$

Tornando in $L$ si ha $Ker(L)=<<-v_1+v_2+v_3>>=<<[(-1),(0),(3)]>>=<<[(1),(0),(-3)]>>$

Questa cosa nasce dal fatto che immagine e nucleo della applicazione matriciale associata ti descrivono completamente il nucleo e l’immagine della applicazione di partenza; basta passare dalle coordinate ai vettori.

Lo stesso quindi accade per l’immagine che sarà generata dalle colonne della matrice rappresentativa; quindi torni ai vettori e ti ricavi l’immagine della applicazione di partenza.

Re: Rendere intelligente il mio approccio ai problemi di Algebra Lineare

13/07/2019, 15:39

Grazie mille!
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