In particolare mi trovo a dover scrivere l'equazione dell'immagine dell'endomorfismo in \(\displaystyle \mathbb{R^3}\ \) che rispetto alle basi canoniche ha questa matrice associata:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
h & h - 1 & h + 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \)
dove ovviamente ogni colonna corrisponde a una immagine rispetto a un vettore della base canonica e in questo caso coordinate e valori coincidono.
La matrice è già ridotta per righe, per \(\displaystyle h \neq 0 \) il rango è massimo etc. etc....
Quando \(\displaystyle h = 0 \) si trova un minore di rango 2 e quindi la matrice ha rango 2, così la dimensione dell'immagine. Il problema sorge al momento di calcolarla.
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \)
Questa matrice demolisce le mie fragili conoscenze meccaniche
Solitamente riduco la matrice, segno la posizione dei pivot e poi procedo nel rintracciare nella matrice originale le colonne contenenti i pivot e quelle saranno coordinate di un vettore di una base dell'immagine (anche se in questo caso coordinate e vettori coincidono); qui però:
- Quella colonna di zeri a sinistra mi disorienta. Cosa ci dice sulla matrice? È forse già ridotta in qualche modo e non me ne rendo conto io, troppo abituato a ragionare per righe? Ho visto che il rango è 2 solo grazie al minore dato dalla sottomatrice in alto a destra ma "in quanto a Gauss" non ho idea di come sia messa questa matrice.
- Anche se riuscissi a trovare una base dell'immagine, come dovrei procedere di fatto a calcolare l'equazione? Ho visto in giro che qualcuno sistema una matrice con le coordinate di un vettore generico come riga o colonna finale per poi ridurla in modo da imporre una riga o una colonna tutta nulla, ma non so secondo quale criterio ciò può venir fatto ne perché.
Grazie in anticipo a chi dovesse aiutarmi