Applicazione lineare

Salve a tutti! Sto preparando un esame di matematica su matrici e applicazioni lineari.
Mentre svolgevo degli esercizi, mi sono imbattuto in uno che chiede di stabilire la suriettività e l'iniettività dell'applicazione $f:RR^3 -> RR^2$ rispetto alle basi canoniche $ ( ( 1 , 2 , -2 ),( h , 2 , -2h ) ) $ .
Quindi io trovo il valore del parametro $h$ (che è $1$) e così ottengo come nucleo $2$ e come immagine, per via del rango della matrice, $1$.
Ora, ovviamente, nel commento dell'esercizio, viene sottolineato che non può essere iniettiva, ma afferma che è suriettiva se l'immagine ha dimensione $2$ (con $h != 1$).
Ma perché? Non dovrebbe essere uguale a $3$ per esserlo?
Ringrazio già in anticipo per le future risposte

Come trovi $h$?
Sai che il nucleo non può essere $2$… Al massimo quella è la dimensione del nucleo. Come l’hai calcolata?
Sai cosa significa suriettiva?
Quali sono i sottospazi di $RR^2$ di dimensione $2$?
E quali sono i sottospazi di $RR^2$ di dimensione $3$?

h l'ho trovato facendo il determinante della matrice.
Si, scusami volevo dire che la dimensione del nucleo era 2 e l'ho calcolata facendo il sistema omogeneo Ax=0.
Si, so cosa significa suriettiva e in merito all'ultima domanda non ti saprei rispondere.

h l'ho trovato facendo il determinante della matrice.

Ah… E come l’hai calcolato il determinante di una matrice non quadrata?

Si, scusami volevo dire che la dimensione del nucleo era 2 e l'ho calcolata facendo il sistema omogeneo Ax=0.

Ok.

Si, so cosa significa suriettiva […]

E quindi?
La definizione dovrebbe servire a qualcosa, unita con la risposta alla domanda:

Quali sono i sottospazi di $RR^2$ di dimensione $2$?

[…] in merito all'ultima domanda non ti saprei rispondere.

Cioè, non sai dirmi quali sono i sottospazi di dimensione $3$ in $RR^2$?
Beh, pensaci un po’.

si scusami volevo dire facendo il minore della matrice ho trovato h=1.
Ho ripensato a ciò che avevo scritto solo successivamente.
Comunque forse ho capito: l'applicazione lineare è suriettiva con l'immagine di dimensione 2 perché l'insieme di arrivo è R^2 giusto?
In merito ai sottospazi non so proprio cosa siano, è la prima volta che li sento nominare, non vengono citati nelle mie dispense.

si scusami volevo dire facendo il minore della matrice ho trovato h=1.

"Il" minore?
Dovresti averne calcolati più d'uno...

Ho ripensato a ciò che avevo scritto solo successivamente.

E ciò è male. Rileggi i messaggi prima di postare.

Comunque forse ho capito: l'applicazione lineare è suriettiva con l'immagine di dimensione 2 perché l'insieme di arrivo è R^2 giusto?

In un certo senso sì.

In merito ai sottospazi non so proprio cosa siano, è la prima volta che li sento nominare, non vengono citati nelle mie dispense.

Scusa, ma cosa stai studiando?

Ah davvero? Allora ho costantemente sbagliato approccio con le matrici non quadrate parametriche, ma, forse per fortuna, mi usciva sempre il parametro corretto.
Inoltre avevo anche riletto 2/3 volte il messaggio prima di mandarlo, ma solo ripensandoci mi sono reso conto che avevo scritto una stupidaggine .
Comunque sto studiando per l'esame di modelli matematici (la mia facoltà è economia) e l'esame consiste in matrici, autovalori, autovettori, segnatura di una matrice e applicazioni lineari di matrici.
In merito all'ultimo argomento la dispensa che ha dato l'insegnante presenta solo la matrice associata e come trovare la dimensione del nucleo e dell'immagine.

[...] stabilire la suriettività e l'iniettività dell'applicazione $f:RR^3 -> RR^2$ rispetto alle basi canoniche $ ( ( 1 , 2 , -2 ),( h , 2 , -2h ) ) $.

L'applicazione $f$ assegna al vettore $(x,y,z) in RR^3$ l'immagine:
\[
f(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ h & 2 & -2h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = (x+2y-2z, hx + 2y -2h z)\; .
\]
La matrice associata ad $f$ ha rango $>= 1$ (perché ha un entrata non nulla) e certamente $<=2$ (perché $2$ è la dimensione minore della matrice); per stabilire se il rango della matrice è $1$ o $2$ orliamo un minore non nullo d'ordine $1$ con i possibili minori d'ordine $2$. Partendo dal minore formato dall'elemento $1!=0$ nell'angolo in alto a sinistra (1^ riga e 1^ colonna), possiamo orlare sfruttando 2^ riga e 2^ colonna o 2^ riga e 3^ colonna, ottenendo i minori:
\[
\begin{split}
A_{12,12} &:= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ h & 2\end{vmatrix} = 2(1-h)\; , \\
A_{12,13} &= \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ h & -2h\end{vmatrix} = 0\; ;
\end{split}
\]
visto che $A_{12,13} =0$, la matrice $A$ ha:

• $"rank" A = 1$ se $A_{12,12} = 0$, ossia se $h = 1$;
  
  
• $"rank" A = 2$ se $A_{12,12} != 0$, ossia se $h != 1$.

Ora, per noti fatti, $dim "Im"(f) = "rank" A$, quindi:

• $dim "Im"(f) = 1$ se $h = 1$;
  
  
• $dim "Im"(f) = 2$ se $h != 1$;

d'altra parte, risulta $dim "Ker"(f) + dim "Im"(f) = dim "Dom"(f) = dim RR^3 = 3$ per il Teorema della Dimensione, sicché:

• $dim "Ker"(f) = 2$ se $h = 1$;
  
  
• $dim "Ker"(f) = 1$ se $h != 1$.

Da ciò segue che:

• $f$ non è mai iniettiva, poiché $dim "Ker"(f) != 0$ per ogni $h in RR$;
  
  
• $f$ è suriettiva solo per $h != 1$, poiché $dim "Im"(f) = 2 = dim RR^2$.

Ah davvero? Allora ho costantemente sbagliato approccio con le matrici non quadrate parametriche, ma, forse per fortuna, mi usciva sempre il parametro corretto.

Sì, è fortuna... Unita al fatto che gli esercizi proposti sono tarati in modo da non far uscire cose "complicate".¹

Comunque sto studiando per l'esame di modelli matematici (la mia facoltà è economia) e l'esame consiste in matrici, autovalori, autovettori, segnatura di una matrice e applicazioni lineari di matrici.

Come ho già detto altrove ad altri utenti sempre del ramo economico/finanziario, l'esame di Metodi Matematici supporrebbe che vi sia spiegata un po' di Matematica, oltre a come fare due calcoli in croce...

In merito all'ultimo argomento la dispensa che ha dato l'insegnante presenta solo la matrice associata e come trovare la dimensione del nucleo e dell'immagine.

Non si studia dalle dispense, ma dai libri di testo.

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Note

1. E ciò è male, perché poi i modelli economici e finanziari seri sono molto complicati ed usano Matematica molto avanzata. ↑

Grazie mille per la spiegazione completa e dettagliata dell'esercizio, sebbene lo avessi già quasi compreso totalmente, ora ho una idea più chiara su questo argomento.
Comunque sono stato costretto a studiare da delle dispense perché il docente non ci ha consigliato nessun libro di testo per questo esame, ci ha dato questi appunti (che tra l'altro sono delle bozze) senza dare altre indicazioni,
infatti ho studiato le proprietà delle matrici da un libro di testo che dovrei usare per un altro esame di matematica.