Rango di una matrice al variare di un parametro

Buonasera a tutti. Ho un dubbio da un po' di tempo è spero possiate aiutarmi.
Esercitandomi nella risoluzione di alcuni esercizi sul rango di una matrice ho notato che alcune volte la mia discussione sui parametri sia diversa da quella proposta dalle soluzioni del testo. Il mio quesito è questo: è possibile che la discussione di un parametro sia diversa a seconda di come si riduce a scalini o dovrei ritrovarmi alla fine la stessa identica discussione del libro di testo?

p.s. Sono nuovissimo, mi scuso in anticipo per eventuali errori sulla impostazione della domanda e dell'argomento!

Ovviamente, devi trovare gli stessi risultati indipendentemente da come vengono svolti i calcoli.
(S'intende, a meno di errori di battitura sul testo...)

Posta qualche esempio.

Calcolare il rango della seguente matrice A al variare di k
\( \displaystyle \begin{pmatrix}
1 & k+2 & 0 \\
k^2-1 & 0 & 4-k \\
1 & 2k-3 & 0
\end{pmatrix} \)

Ho applicato la riduzione a scalini e ho ottenuto:

\( \displaystyle \begin{pmatrix}
1 & k+2 & 0 \\
0 & -(k+2)(k^2-1) & 4-k \\
0 & k-1 & 0
\end{pmatrix} \)

Noto che se k=±1 V k=-2 il rango è 2
Se k≠±1 k≠-2, allora ottengo:

\( \displaystyle \begin{pmatrix}
1 & k+2 & 0 \\
0 & -(k+2)(k^2-1) & 4-k \\
0 & 0 & (4-k)/(k+2)
\end{pmatrix} \)

il rango è uguale a 3.
Le soluzioni utilizzando il metodo del determinante sono:
Se k≠4, 5, la matrice ha determinante non nullo, quindi rg(A) = 3.
Se k = 4 V k=5 allora rg(A)=2

Hai sbagliato $a_(3,2)$ nella prima iterazione dell’algoritmo.
Dovrebbe essere $k - 5$, non $k-1$… Il che complica la seconda iterazione.

In generale, se usare il determinante è semplice come in questo caso, usalo.

Grazie mille!