Dubbio su un esercizio sulle coniche

Messaggioda Fabio._94 » 15/07/2019, 12:27

Buongiorno, avevo un piccolo dubbio su un esercizio assegnato in un compito. Il testo dice:
Trovare il fascio di coniche che si osculano in O=(0,0) tangenti all'asse y e passanti per il punto P=(2,0) e studiarlo.
A partire da questi dati, posso trovare solamente l'unica conica spezzata del fascio(xy=0); tuttavia per poter scrivere un fascio di coniche ce ne vogliono 2. Il problema che mi pongo è se l'esercizio non si può risolvere a meno che nel testo non venga fornita l'equazione di una conica del fascio.

Grazie
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Re: Dubbio su un esercizio sulle coniche

Messaggioda gugo82 » 15/07/2019, 16:53

Fabio._94 ha scritto:il fascio di coniche che si osculano in $O=(0,0)$

Cosa significa “si osculano”?
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Re: Dubbio su un esercizio sulle coniche

Messaggioda Fabio._94 » 15/07/2019, 17:39

Vuol dire che sono tutte tangenti alla retta x=0 nel punto O=(0,0) e poi passano per il punto P. In generale i punti base del fascio sono 4, in questo caso O viene contato come se fossero 3 punti in uno, se non erro.
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Re: Dubbio su un esercizio sulle coniche

Messaggioda gugo82 » 15/07/2019, 18:11

Ah, vabbè… Allora forse possiamo fare i conti come li si faceva al liceo.

Scritta l’equazione della conica generica $ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2d x + 2e y + f =0$ si impongono le varie condizioni assegnate (passaggio per $O$ e $P$ e tangenza a $x=0$ in $O$).
Imponendo i passaggi per i due punti trovi $f=0$ e $4a + 4d =0$, ossia $d=-a$; imponendo la condizione di tangenza $Delta = 0$ nella risolvente quadratica del sistema $\{ (ax^2 + 2b xy + cy^2 - 2a x + 2e y = 0),( x=0):}$ trovi $e = 0$ e basta, perché il sistema diventa $\{ (ax^2 + 2b xy + cy^2 - 2a x = 0),( x=0):}$ ed ha unica soluzione $O$ per ogni valore dei parametri $a,b,c$.

Però mi pare strano avere un’equazione con tre parametri… Quindi o c’è qualche condizione mancante o ho sbagliato a fare qualche conto.
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Re: Dubbio su un esercizio sulle coniche

Messaggioda Fabio._94 » 15/07/2019, 21:49

Forse ho capito, credo che basti scriversi una generica conica appartenente al fascio. Per esempio $x^2+y^2-xy-2x $, che è tangente in O all'asse y e passa per P. In questo modo riesco a scrivere l'equazione del fascio creando un combinazione lineare della conica trovata e di quella spezzata che ottengo dai dati ovvero la conica $xy=0$. Il fascio sarà:
\[ \lambda xy + \mu (x^2+y^2-xy-2x)=0\]
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