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Siano rispettivamente \( V \) e \( X\subset V \) uno spazio vettoriale, e un suo sottoinsieme contente l'elemento neutro di \( V \). L'insieme \( G_X \) dei sottospazi di \( V \) contenuti in \( X \), ordinato per la relazione di inclusione di \( G(V) \) (l'insieme di tutti i sottospazi di \( V \)), ha elementi massimali.

Dimostrazione. Mi sembra immediato, ma solo a patto di applicare il lemma di Zorn: l'unione di una catena in \( G_X \) è un sottospazio contenuto in \( X \) (una catena è un insieme diretto), e quindi \( G_X \) ha un elemento massimale (\( X \) non è vuoto, contiene almeno \( 0 \)). \( \square \)

Poi posto quello che mi interessa (che è, di fatto, l'esercizio 2.19, e da cui deriva questa domanda, come mi era stato ivi chiesto di specificare).

Sì, se $V$ non ha dimensione finita non si può dimostrare questa cosa senza il lemma di Zorn. Equivale a dire che esiste una base per il sottospazio che questo argomento trova, tale sottospazio può non avere dimensione finita, e allora serve il lemma di Zorn.

La dimostrazione se $V$ ha dimensione finita si dovrebbe fare così: se $X$ contiene solo lo zero, hai finito. Se contiene un vettore non nullo, due sono i casi: o contiene \(\langle v\rangle\), e per induzione contiene \(\langle v,v'\rangle, \langle v,v',v''\rangle,\dots\), oppure a un certo punto non contiene più uno di questi, oppure a un certo punto non trovi più nessun $w$ linearmente indipendente dai primi tale che aggiungendolo ai primi il sottospazio sta ancora in $X$. In tutti i casi, questa catena di inclusioni è stazionaria.