Manetti, Capitolo 2, esercizio 2.17
Inviato: 15/07/2019, 17:51
Siano rispettivamente \( V \) e \( X\subset V \) uno spazio vettoriale, e un suo sottoinsieme contente l'elemento neutro di \( V \). L'insieme \( G_X \) dei sottospazi di \( V \) contenuti in \( X \), ordinato per la relazione di inclusione di \( G(V) \) (l'insieme di tutti i sottospazi di \( V \)), ha elementi massimali.
Dimostrazione. Mi sembra immediato, ma solo a patto di applicare il lemma di Zorn: l'unione di una catena in \( G_X \) è un sottospazio contenuto in \( X \) (una catena è un insieme diretto), e quindi \( G_X \) ha un elemento massimale (\( X \) non è vuoto, contiene almeno \( 0 \)). \( \square \)
Poi posto quello che mi interessa (che è, di fatto, l'esercizio 2.19, e da cui deriva questa domanda, come mi era stato ivi chiesto di specificare).
Dimostrazione. Mi sembra immediato, ma solo a patto di applicare il lemma di Zorn: l'unione di una catena in \( G_X \) è un sottospazio contenuto in \( X \) (una catena è un insieme diretto), e quindi \( G_X \) ha un elemento massimale (\( X \) non è vuoto, contiene almeno \( 0 \)). \( \square \)
Poi posto quello che mi interessa (che è, di fatto, l'esercizio 2.19, e da cui deriva questa domanda, come mi era stato ivi chiesto di specificare).