Solitamente si indica $underbrace(VtimesVtimes...timesV)_(n)=prod_(i=1)^(n)V=V^n$ e con $dimV$ la dimensione
Diciamo che non puoi affermare che siano proprio quelli i vettori; hai una base ortonormale di $V$ che poniamo essere per esempio $B={v_1,v_2,v_3}$ allora
$[(1),(0),(3)]=v_1+3v_3$ e $[(0),(1),(0)]=v_2$
Sostanzialmente sai che se $V$ ha dimensione finita, per esempio $n$, allora $V$ è isomorfo a $k^n$ con l’isomorfismo delle coordinate $C_B:V->k^n$ rispetto ad una base $B$ e in particolare se $WleqV$ è un sottospazio allora $W$ è isomorfo a $C_B(W)$(ossia l’immagine del sottospazio)
Essendo l’immagine generata dai vettori di una base di $W$ sostanzialmente segue che puoi tranquillamente rappresentare un sottospazio tramite il sottospazio generato dalle coordinate e viceversa. Per questo motivo molto spesso si da una base con determinate proprietà senza stabilirne formalmente i vettori; tanto poi finisci per lavorare sulle coordinate
La risposta alla tua domanda è positiva e il motivo è il seguente(che in realtà è più un trick da tenere a mente).
Quando hai un sottospazio $U$ definito dai vettori le cui componenti $X$ risolvono il sistema $AX=0$ e poi vuoi calcolare $U^(_|_)$ puoi fare la seguente cosa: considerare l’insieme dei vettori $v in V$ tali tali che $v*u_i=0$, dove ${u_i}_(i=1,...,dimU)$ è una base di $U$, e ricordati che $v*u_i=Y^tMX_i$ dove $X_i,Y$ sono le componenti di $u_i,v$ rispetto alla base $B$ di $V$
Essendo $B$ ortonormale ci si riduce a $v*u_i=Y^tX_i$
Ora c’è il passaggio delicato; sai da un lato che $A*X_i=0$ in quanto $X_i$ sono le coordinate di un vettore che risolve $AX=0$ e inoltre sai che, indicata con $A_j$ la $j-$esima riga di $A$ si deve avere
$0=AX_i=[(A_1 X_i),(A_2 X_i),( : ),(A_m X_i)]=> A_j X_i=0,forallj=1,...,m$
Questo significa che le righe della matrice $A$ sono coordinate di vettori ortogonali ai vettori della base di $U$ ovvero che $A_1^t,...,A_m^t in U^(_|_)$ quindi basta prendere $Y=A_j^t$ per avere delle soluzioni di $v*u_i=0$; se questi generano l’ortogonale abbiamo finito
sappiamo che $dimU^(_|_)=dimV-dimU$ ma $dimU=dimKer(A)=dimV-r(A)$ pertanto $dimU^(_|_)=r(A)$ e $dim<<A_1^t,...,A_m^t>> =r(A)$ quindi le righe sono un sottospazio di $U$ avente la stessa dimensione e per questo devono coincidere.
Quindi nel tuo sistema
$0=3u^(1)-u^3=((3,0,-1))*[(u^(1)),(u^(2)),(u^(3))]$
L’ortogonale è dato dall’unica riga e quindi dal vettore delle coordinate $[(3),(0),(-1)]$
Nota l'importanza di aver assunto la base ortonormale.
In poche parole quando hai una base ortonormale una matrice ti da velocemente sia uno spazio che il suo ortogonale; il nucleo generata uno spazio e le righe generano l’ortogonale