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Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 16/07/2019, 19:19
da Emabig
Ciao a tutti, avrei un dubbio su un esempio del libro di testo vi chiederei per favore una mano.

L'esempio è questo:
Se \( U^2 \) ha rispetto ad una base ortonormale \( B \) di \( V^3 \) equazione : \( 3u^1-u^3=0 \)
allora \( U^2=(a)^\bot \) dove \( a\equiv (3,0,-1) \) rispetto alla base \( B \) .

Tutto questo l'ho capito non mi è chiaro pero una cosa, se io volessi trovare una base di \( U^2 \) risolvo l'equazione e trovo che \( \alpha (1/3,0,1) \) è una possibile espressione che mi genera \( U^2 \) e qui la mia prima domanda:
non dovrei avere due vettori L. Indip. per \( U^2 \) ? come li trovo da quell'equazione sopra?

Poi visto che un teorema del libro dice che se \( U \) è un sottospazio vettoriale di \( V^n \) si ha che: \( V^n=U\oplus U^\bot \) per forza dovrà essere \( (0,1,0) \) un vettore della base di \( U^2 \) non riesco bene ad immaginarmi a mente i due sottospazi, perché dall'equazione di prima i vettori di \( U^2 \) non dovrebbero avere solo componenti lungo l'asse delle ascisse e delle quote? quindi \( (0,1,0) \) come fa ed esserne un vettore della base di \( U^2 \) ?

ho un po di confusione :roll: grazie in anticipo.

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 16/07/2019, 19:36
da anto_zoolander
Eh?

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 16/07/2019, 19:51
da Emabig
sorry mi è partito il messaggio prima che lo finissi l'ho rinviato appena ora giusto ma dev'essere ancora approvato :-D

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 16/07/2019, 21:20
da anto_zoolander
Tranquillo; ho unito i due thread in uno solo.

Solo una cosa non mi è chiara ossia la notazione che utilizzi; nella scrittura $V^n$ l’apice cosa indica? La dimensione dello spazio o il prodotto di uno spazio per se stesso $n$ volte(che solitamente è il significato di quella notazione)?

Ad ogni modo $3u^(1)=u^(3)$ ti dice semplicemente che un generico vettore di $U^2$ ha coordinate

$X=[(u^1),(u^2),(3u^1)]=u^1*[(1),(0),(3)]+u^2*[(0),(1),(0)]$

Di fatto quella equazione puoi vederla come

$[(3,0,-1)]*[(u^1),(u^2),(u^3)]=0$

Quindi nella sostanza quello che ti torna è una generica colonna nella quale la seconda coordinata è libera da relazioni; non è che il sistema se la dimentica :-D

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 17/07/2019, 01:07
da Emabig
Ah perfetto grazie mille.

Si giusto scusami nel libro la mette come la dimensione dello spazio vettoriale euclideo, a dire il vero la usa sempre e solo con quella notazione eheh. Se fosse stata intesa come il prodotto di uno spazio per se stesso \( n \) volte come sarebbe stata? e cosa mi avrebbe rappresentato \( V^2 \) in quel caso?

Comunque sei stato chiarissimo ora ho capito grazie :D

E giusto per togliermi un sassolino dalla scarpa e avere conferma, quindi ora posso dire che i vettori \( (1,0,3) \) e \( (0,1,0) \) sono una base del nucleo di quel sistema formato da una sola equazione e che una base del suo complemento ortogonale è \( (3,0,-1) \) giusto?

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 17/07/2019, 12:28
da anto_zoolander
Solitamente si indica $underbrace(VtimesVtimes...timesV)_(n)=prod_(i=1)^(n)V=V^n$ e con $dimV$ la dimensione

Diciamo che non puoi affermare che siano proprio quelli i vettori; hai una base ortonormale di $V$ che poniamo essere per esempio $B={v_1,v_2,v_3}$ allora

$[(1),(0),(3)]=v_1+3v_3$ e $[(0),(1),(0)]=v_2$

Sostanzialmente sai che se $V$ ha dimensione finita, per esempio $n$, allora $V$ è isomorfo a $k^n$ con l’isomorfismo delle coordinate $C_B:V->k^n$ rispetto ad una base $B$ e in particolare se $WleqV$ è un sottospazio allora $W$ è isomorfo a $C_B(W)$(ossia l’immagine del sottospazio)

Essendo l’immagine generata dai vettori di una base di $W$ sostanzialmente segue che puoi tranquillamente rappresentare un sottospazio tramite il sottospazio generato dalle coordinate e viceversa. Per questo motivo molto spesso si da una base con determinate proprietà senza stabilirne formalmente i vettori; tanto poi finisci per lavorare sulle coordinate

La risposta alla tua domanda è positiva e il motivo è il seguente(che in realtà è più un trick da tenere a mente).

Quando hai un sottospazio $U$ definito dai vettori le cui componenti $X$ risolvono il sistema $AX=0$ e poi vuoi calcolare $U^(_|_)$ puoi fare la seguente cosa: considerare l’insieme dei vettori $v in V$ tali tali che $v*u_i=0$, dove ${u_i}_(i=1,...,dimU)$ è una base di $U$, e ricordati che $v*u_i=Y^tMX_i$ dove $X_i,Y$ sono le componenti di $u_i,v$ rispetto alla base $B$ di $V$

Essendo $B$ ortonormale ci si riduce a $v*u_i=Y^tX_i$

Ora c’è il passaggio delicato; sai da un lato che $A*X_i=0$ in quanto $X_i$ sono le coordinate di un vettore che risolve $AX=0$ e inoltre sai che, indicata con $A_j$ la $j-$esima riga di $A$ si deve avere

$0=AX_i=[(A_1 X_i),(A_2 X_i),( : ),(A_m X_i)]=> A_j X_i=0,forallj=1,...,m$

Questo significa che le righe della matrice $A$ sono coordinate di vettori ortogonali ai vettori della base di $U$ ovvero che $A_1^t,...,A_m^t in U^(_|_)$ quindi basta prendere $Y=A_j^t$ per avere delle soluzioni di $v*u_i=0$; se questi generano l’ortogonale abbiamo finito

sappiamo che $dimU^(_|_)=dimV-dimU$ ma $dimU=dimKer(A)=dimV-r(A)$ pertanto $dimU^(_|_)=r(A)$ e $dim<<A_1^t,...,A_m^t>> =r(A)$ quindi le righe sono un sottospazio di $U$ avente la stessa dimensione e per questo devono coincidere.

Quindi nel tuo sistema
$0=3u^(1)-u^3=((3,0,-1))*[(u^(1)),(u^(2)),(u^(3))]$

L’ortogonale è dato dall’unica riga e quindi dal vettore delle coordinate $[(3),(0),(-1)]$

Nota l'importanza di aver assunto la base ortonormale.
In poche parole quando hai una base ortonormale una matrice ti da velocemente sia uno spazio che il suo ortogonale; il nucleo generata uno spazio e le righe generano l’ortogonale

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 18/07/2019, 12:05
da Emabig
Ah ora ho capito, non l'avevo pensata in questo modo mi sono reso conto grazie alla tua risposta che il ragionamento che facevo era incompleto e in parte anche un po sbagliato.

Quindi possiamo dire che grazie al fatto che la base $ B={v1,v2,v3} $ di $ V $ è ortonormale,
il prodotto scalare \( v\cdot u_i = Y^t M X_i \) si può ridurre al prodotto scalare \( v\cdot u_i = Y^t X_i \).

Questo perché la matrice \( M \) , che corrisponderebbe alla matrice di Gram, è \( M=H^t\cdot H=I_n \) , con \( H \) quale matrice di cambio di base formata delle componenti della base ortonormale \( B \) rispetto alla base canonica di \( V \).
E così si può ritornare al \( \triangleright \) (passaggio delicato) del tuo messaggio di prima , e dire che la matrice \( A \) mi da sia uno spazio che il suo ortogonale, correggimi se c'è ancora qualcosa da mettere a posto nel ragionamento :).

Ormai che ci sono ti faccio anche altre due\tre domande per togliermi ogni dubbio :D se la base \( B \) di \( V \) non fosse stata ortonormale, \( A \) non mi avrebbe rappresentato un sottospazio e il suo ortogonale in questo caso giusto?

E come avrei potuto trovarlo? Bastava moltiplicare \( A \) per la matrice di Gram \( M \) e poi prendere \( Y= A\cdot M \) o avrei dovuto ortonormalizzare \( B \) , scrivere i vettori rispetto alla nuova base \( B \) ortonormalizzata, e poi rifare il procedimento del tuo messaggio di prima?

Re: Dubbio su complemento ortogonale di un sottospazio

MessaggioInviato: 18/07/2019, 16:13
da anto_zoolander
Allora partiamo dal fatto che quando $B$ è ortonormale la matrice rappresentativa del rispettivo prodotto scalare è l’identita; a prescindere da cambi di base e cose strane.

Quello che dici tu è che la matrice di passaggio tra due basi ortonormale è una matrice ortogonale cosa che però in questo caso particolare non ti serve.
Anche perché quando hai uno spazio generico cosa significa base canonica?

Formalmente tu hai $U={v in V|A*v_B=0}$
Dove con $v_B$ intendo il vettore delle coordinate di $v$ rispetto alla base $B$.

Quindi da un lato $A$ ti definisce uno spazio $U$
Poi dalle considerazioni fatte sopra $<<A_1,...,A_m>> = U^(_|_)$

Per queste considerazioni è sufficiente avere una matrice $A$ e una base ortonormale $B$ di partenza.

Riguardo all’altra domanda la cosa migliore potrebbe essere ortonormalizzare la base in modo tale che poi ci si riconduca a qualcosa di facile anche perché diciamocelo chiaramente; meno conti si fanno meglio è, chiaramente conoscendo il motivo per cui ne stai facendo di meno.