Manetti, Capitolo 2, esercizio 2.19, prima parte

Messaggioda marco2132k » 18/07/2019, 01:34

Sia \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( \mathbb{K} \). Per \( A\subset V \) denoto con \( LA \) la chiusura lineare di \( A \) (il sottospazio \( \bigcap_{\substack{W\leqq V\\ W\supset A}}W \) generato da \( A \)). Un sottoinsieme \( A\subset V \) è linearmente indipendente se nessun suo elemento \( v\in A \) appartiene alo spazio generato da \( A\setminus\{v\} \). Inoltre, in quanto segue, l'insieme \( GV \) denota la collezione di tutti i sottospazi di \( V \).

Prima parte

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È immediato provare che un insieme è linearmente indipendente se, e solo se, tutte le sue combinazioni lineari finite di suoi elementi hanno tutti i coefficienti nulli, ogniqualvolta siano il vettore nullo. Sono costretto ad usare quest'altra caratterizzazione in seguito, ma credo sia evitabile.

2) Un insieme di vettori è linearmente indipendente se e solo se ogni sua parte finta è linearmente indipendente.
Dimostrazione. (condizione sufficiente) La mappa \( L\colon PV\to GV \) rispetta l'ordine; quindi, considerati una parte \( B\subset A \) di un insieme linearmente indipendente \( A \) e un elemento \( v\in B \), abbiamo che \( L(B\setminus\{v\})\subset L(A\setminus\{v\}) \), dove \( v\not\in L(A\setminus\{v\}) \) perché - appunto - \( A \) è linearmente indipendente. (condizione necessaria) Uso la seconda caratterizzazione di insieme linearmente indipendente. Mi piacerebbe evitarla, appunto. In ogni modo, se ogni parte finita di \( A \) è linearmente indipendente, allora ogni combinazione lineare nulla a elementi in parti finite di \( A \) ha coefficienti nulli. Segue una contraddizione evidente se si considera un vettore \( v\in A\) nello span di \( A\setminus\{v\} \).\( \square \)

3) Sia \( A\subset V \) linearmente indipendente e sia \( v\in A \); allora \( A\cup\{v\} \) è linearmente indipendente se e solo se \( v\not\in L(A) \).
Dimostrazione. Una direzione è banale. Per l'altra, si noti che di sicuro è \( A\subset A\cup\{v\} \), ergo preso \( w\in A\cup\{v\} \) è o \( w\neq v \), o \( w=v \). \( \square \)

Sia ora \( \mathcal{B} \) la famiglia di tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti di \( V \), ordinata per inclusione. Una base di \( V \) è qualsiasi elemento massimale di \( \mathcal{B} \).

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Una base è una base, nel senso "standard".
Dimostrazione. Sia \( B \) un elemento massimale di \( \mathcal{B} \). Allora è linearmente indipendente; ammettere che \( B \) non generi \( V \) contraddice il fatto che \( B \) è massimale in \( \mathcal{B} \), per il risultato qui sopra. Sia ora \( B \) un insieme di vettori linearmente indipendenti che genera \( V \). Allora, 1) appartiene a \( \mathcal{B} \), per quanto detto nel primo spoiler; 2) è banalmente l'unico suo maggiorante per le proprietà di \( L \). \( \square \)

4a) Esistono le basi; per ogni base \( B \) vale \( LB=V \).
Dimostrazione. L'insieme \( \mathcal{B} \) di cui sopra è una famiglia a carattere finito, per il primo esercizio (p.to 2). Il risultato segue dal lemma di Tukey[*]. Gia provato sopra. \( \square \)

4b) Ogni insieme linearmente indipendente è contenuto in almeno una base, e ogni insieme di generatori contiene almeno una base.
Dimostrazione. Sia \( A \) linearmente indipendente. Se \( A \) non è il suo unico maggiorante - e quindi una base -, ce n'è un altro, e in definitiva un qualche massimale che contiene \( A \).

[*]Lemma (di Tukey). Sia \( X \) un insieme, e si consideri una famiglia \( \mathcal{B} \) di sottoinsiemi di \( X \), con la proprietà che un \( A\subset X \) vi appartiene se, e solo se, ogni parte finita di tale \( A \) appartiene a \( \mathcal{B} \).

p.s. Ne manca ancora un pezzo (p.ti 4, 5, 6); posto domani, se ho un attimo di tempo per farlo. Non pretendo che leggiate, tutta, 'sta bruttura: mi è stato istruttivo scriverla :-)
p.p.s Non capisco il senso di dare trecento esercizi prima del 2.25, che sono di fatto tutti i lemmi che servono a svolgerlo. Sembra un approccio da manuale liceale.

edit. Reso più comprensibile. Inoltre l'esercizio è il 2.25, nella versione a stampa del libro che ho io.
marco2132k
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