Ricavare equazioni sfere

Messaggioda Ric0703 » 20/07/2019, 09:07

Ciao a tutti, sto riscontrando dei problemi riguardo allo svolgimento di un punto ricorrente nelle tracce d'esame. In questo caso è il punto c) del problema. Posso sapere se ho impostato il punto correttamente, se ho commesso errori o se c'è una maniera alternativa di procedere? Grazie

Si consideri la retta

$\{(x = t),(y = 3t - 1),(z = 2t):}$

a) Si scriva l'equazione del fascio di piani passante per $r$
b) Si scriva l'equazione del piano passante per $r$ e per $P=(1,2,0)$
c) Si scrivano le equazioni delle sfere di raggio $1$ tangenti a tale piano nel punto $P$

Ho risolto i primi due punti (spero correttamente!):
a) Scrivo le rette in forma cartesiana, perciò ottengo

$\{(3x - y - 1 = 0),(2x - z = 0):}$

allora il fascio di piani sarà

$\lambda (3x - y - 1) + \mu (2x - z) = 0$

b) impongo il passaggio del fascio di piani per il punto $P=(1,2,0)$, risulta

$\lambda = 0, \mu = 2$

e il piano cercato sarà

$\pi : 2x - z = 0$

c) pensavo di procedere scrivendo l'equazione della retta perpendicolare al piano, quindi con coseni direttori $(2,0,1)$ imponendo il passaggio per $P$:

$\{(x = 1 + 2t),(y = 2),(z = -t):}$

Calcolare i valori di $t$ imponendo che la distanza tra i centri delle sfere e il punto $P$ sia unitaria, ottenendo così

$t=+- 1/sqrt(5)$

e le coordinate dei due centri le ottengo sostituendo i due valori di $t$ in

$C = (1+2t, 2, -t)$

Procedo poi a scrivere l'equazione delle sfere.
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Re: Ricavare equazioni sfere

Messaggioda @melia » 20/07/2019, 12:01

era Meglio tacere.
Ultima modifica di @melia il 20/07/2019, 17:11, modificato 1 volta in totale.
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Re: Ricavare equazioni sfere

Messaggioda Bokonon » 20/07/2019, 14:41

Il punto $P=(1,2,0)$ non è contenuto nel piano $2x-z=0$ ma bensì in $3x-y-1=0$
Il punto $P=(1,0,2)$ è contenuto nel piano $2x-z=0$ e la direzione perpendicolare ad esso è $(2,0,-1)$
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Re: Ricavare equazioni sfere

Messaggioda Ric0703 » 20/07/2019, 17:53

Ti ringrazio per avermi fatto notare questo particolare, ma adesso non saprei come procedere.
Il punto è $P = (1, 2, 0)$; il piano $\pi$, che appartiene al fascio, deve passare per questo punto e devo individuare le sfere con raggio 1 tangenti al piano in $P$.
La richiesta è questa. Pertanto, o ho commesso un errore nel individuare il piano oppure mi sta sfuggendo qualche passaggio.
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Re: Ricavare equazioni sfere

Messaggioda Bokonon » 21/07/2019, 17:09

Hai confermato che il punto corretto è $P=(1,2,0)$ perciò $mu=0$ e il piano che contiene sia la retta che il punto P è $3x-y-1=0$.
Procederei nel modo più semplice possibile. La retta che passa per P ed è perpendicolare al piano ha direzione $(3, -1, 0)$.
Facciamo finta che P sia l'origine e troviamo due vettori di norma unitaria lungo quella direzione, ovvero $+-(3sqrt(10)/10, -sqrt(10)/10, 0)$. Questi sarebbero i centri delle sfere se P fosse l'origine, perciò basta traslarli somandoci P, da cui $C_1=((10+3sqrt(10))/10, (20-sqrt(10))/10, 0)$ e $C_2=((10-3sqrt(10))/10, (20+sqrt(10))/10, 0)$

Ora abbiamo i due centri e il raggio e il resto è immediato.
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