Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
20/07/2019, 08:07
Ciao a tutti, sto riscontrando dei problemi riguardo allo svolgimento di un punto ricorrente nelle tracce d'esame. In questo caso è il punto c) del problema. Posso sapere se ho impostato il punto correttamente, se ho commesso errori o se c'è una maniera alternativa di procedere? Grazie
Si consideri la retta
$\{(x = t),(y = 3t - 1),(z = 2t):}$
a) Si scriva l'equazione del fascio di piani passante per $r$
b) Si scriva l'equazione del piano passante per $r$ e per $P=(1,2,0)$
c) Si scrivano le equazioni delle sfere di raggio $1$ tangenti a tale piano nel punto $P$
Ho risolto i primi due punti (spero correttamente!):
a) Scrivo le rette in forma cartesiana, perciò ottengo
$\{(3x - y - 1 = 0),(2x - z = 0):}$
allora il fascio di piani sarà
$\lambda (3x - y - 1) + \mu (2x - z) = 0$
b) impongo il passaggio del fascio di piani per il punto $P=(1,2,0)$, risulta
$\lambda = 0, \mu = 2$
e il piano cercato sarà
$\pi : 2x - z = 0$
c) pensavo di procedere scrivendo l'equazione della retta perpendicolare al piano, quindi con coseni direttori $(2,0,1)$ imponendo il passaggio per $P$:
$\{(x = 1 + 2t),(y = 2),(z = -t):}$
Calcolare i valori di $t$ imponendo che la distanza tra i centri delle sfere e il punto $P$ sia unitaria, ottenendo così
$t=+- 1/sqrt(5)$
e le coordinate dei due centri le ottengo sostituendo i due valori di $t$ in
$C = (1+2t, 2, -t)$
Procedo poi a scrivere l'equazione delle sfere.
20/07/2019, 11:01
era Meglio tacere.
Ultima modifica di
@melia il 20/07/2019, 16:11, modificato 1 volta in totale.
20/07/2019, 13:41
Il punto $P=(1,2,0)$ non è contenuto nel piano $2x-z=0$ ma bensì in $3x-y-1=0$
Il punto $P=(1,0,2)$ è contenuto nel piano $2x-z=0$ e la direzione perpendicolare ad esso è $(2,0,-1)$
20/07/2019, 16:53
Ti ringrazio per avermi fatto notare questo particolare, ma adesso non saprei come procedere.
Il punto è $P = (1, 2, 0)$; il piano $\pi$, che appartiene al fascio, deve passare per questo punto e devo individuare le sfere con raggio 1 tangenti al piano in $P$.
La richiesta è questa. Pertanto, o ho commesso un errore nel individuare il piano oppure mi sta sfuggendo qualche passaggio.
21/07/2019, 16:09
Hai confermato che il punto corretto è $P=(1,2,0)$ perciò $mu=0$ e il piano che contiene sia la retta che il punto P è $3x-y-1=0$.
Procederei nel modo più semplice possibile. La retta che passa per P ed è perpendicolare al piano ha direzione $(3, -1, 0)$.
Facciamo finta che P sia l'origine e troviamo due vettori di norma unitaria lungo quella direzione, ovvero $+-(3sqrt(10)/10, -sqrt(10)/10, 0)$. Questi sarebbero i centri delle sfere se P fosse l'origine, perciò basta traslarli somandoci P, da cui $C_1=((10+3sqrt(10))/10, (20-sqrt(10))/10, 0)$ e $C_2=((10-3sqrt(10))/10, (20+sqrt(10))/10, 0)$
Ora abbiamo i due centri e il raggio e il resto è immediato.
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