Lemma di scambio e induzione
Inviato: 21/07/2019, 14:18
Ciao. Generi \( A=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} \) lo spazio vettoriale \( V \), e sia \( B=\left\{w_1,\dots,w_r\right\} \) linearmente indipendente. Allora \( r\leqq n \).
Dimostrazione. L'idea è di provare che \( A^{'}=\left\{w_1,v_2,\dots,v_n\right\} \), \( A^{''}=\left\{w_1,w_2,v_3\dots,v_n\right\} \), ecc. generano ancora lo spazio. Una volta provato che \( \langle A'\rangle=V \), discende \( \langle A^{''}\rangle=V \), e così via.
Ciò che non riesco a formalizzarmi è il "e così via": ho sempre glissato su questa cosa, ma... non mi convince.
Evito di esporre i miei ragionamenti (riformulare in qualche modo l'enunciato), tanto non li legge nessuno
Dimostrazione. L'idea è di provare che \( A^{'}=\left\{w_1,v_2,\dots,v_n\right\} \), \( A^{''}=\left\{w_1,w_2,v_3\dots,v_n\right\} \), ecc. generano ancora lo spazio. Una volta provato che \( \langle A'\rangle=V \), discende \( \langle A^{''}\rangle=V \), e così via.
Ciò che non riesco a formalizzarmi è il "e così via": ho sempre glissato su questa cosa, ma... non mi convince.
Evito di esporre i miei ragionamenti (riformulare in qualche modo l'enunciato), tanto non li legge nessuno