Spazi quozienti
Inviato: 21/07/2019, 15:30
Salve vorrei discutere con voi di spazi quozienti (che ho solo accennato) e lo vorrei fare con un esempio
Prima cosa dovrei avere
\[
[x]=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le 1 \\
\{\pm x\}, & |x|>1
\end{cases}
\]
Gli aperti di $X=\mathbb{R}/\sim$ sono tutti e sole le unioni di elementi del tipo $\pi^{-1}]a,b[$, con $\pi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ la proiezione canonica. Ad esempio, se $a,b>0$
\[
\pi^{-1}]a,b[=\begin{cases} ]a,b[, & ]a,b[\subseteq [-1,1]\\
]-b,-1]\cup [a,1]\cup]1,b[, & ]a,b[\cap[-1,1]=]a,1]\\
]-b,-a[\cup]a,b[, & ]a,b[\cap ]-1,1[=\emptyset
\end{cases}
\]
Per simmetria dovrei ottenere gli altri elementi della base canonica.
Finora ha tutto senso quello che ho scritto?
Grazie
In $\mathbb{R}$ con la topologia standard si consideri l'equivalenza
\[
x\sim y \Leftrightarrow x=y \mbox{ o } |x|=|y|>1
\]
Provare che è connesso e a base numerabile ma non di Hausdorff
Prima cosa dovrei avere
\[
[x]=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le 1 \\
\{\pm x\}, & |x|>1
\end{cases}
\]
Gli aperti di $X=\mathbb{R}/\sim$ sono tutti e sole le unioni di elementi del tipo $\pi^{-1}]a,b[$, con $\pi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ la proiezione canonica. Ad esempio, se $a,b>0$
\[
\pi^{-1}]a,b[=\begin{cases} ]a,b[, & ]a,b[\subseteq [-1,1]\\
]-b,-1]\cup [a,1]\cup]1,b[, & ]a,b[\cap[-1,1]=]a,1]\\
]-b,-a[\cup]a,b[, & ]a,b[\cap ]-1,1[=\emptyset
\end{cases}
\]
Per simmetria dovrei ottenere gli altri elementi della base canonica.
Finora ha tutto senso quello che ho scritto?
Grazie