21/07/2019, 15:30
In $\mathbb{R}$ con la topologia standard si consideri l'equivalenza
\[
x\sim y \Leftrightarrow x=y \mbox{ o } |x|=|y|>1
\]
Provare che è connesso e a base numerabile ma non di Hausdorff
21/07/2019, 16:32
21/07/2019, 17:47
22/08/2019, 22:32
Cantor99 ha scritto:non posso rappresentare le unioni di classi di equivalenza come intervalli?
Avendo
\[ \pi^{-1}([x])=\begin{cases} \{x\}, & |x|\le1\\ \{\pm x\}, & |x|> 1 \end{cases} \]
Per ottenere un aperto $ ]a,b[\subseteq [-1,1] $ basta fare
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]a,b[) \]
dove $ ]a,b[ $ è inteso come unione di classi di equivalenza, che sono singolette.
Se ho $ ]a,b[ $, con $ a>1 $ dovrei avere
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-a[\cup ]a,b[) \]
Se, invece, $ a<1 $ e $ b>1 $
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-1]\cup]a,b[) \]
23/08/2019, 07:40
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