"Ogni spazio finitamente generato ammette una base" e insiemi massimali
Inviato: 23/07/2019, 17:20
Voglio provare a dimostrare in un modo simile a quanto scritto qui che ogni spazio finitamente generato ha una base.
Dimostrazione. Sia \( V \) non banale, finitamente generato da un insieme di \( n \) vettori \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Devo provare l'esistenza di un insieme massimale nella famiglia \( \mathcal B \) dei sottoinsiemi linearmente indipendenti dello spazio (e, poiché questo è di tipo finito, posso evitare il lemma di Zorn e amici). L'esistenza di un elemento massimale in \( \mathcal{B} \) è implicata dall'esistenza di un massimo nell'insieme dei naturali \( k \) per i quali esiste un insieme di cardinalità \( k \) linearmente indipendente. Tale insieme non è vuoto, e se non ammettesse massimo, per ogni insieme linearmente indipendente di \( k \) elementi ne esisterebbe un altro di \( l>k \) elementi. \( \square \)
Come va? Mi sembra un modo di procedere più coerente con la dimostrazione del caso di \( V \) non di tipo finito.
Dimostrazione. Sia \( V \) non banale, finitamente generato da un insieme di \( n \) vettori \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Devo provare l'esistenza di un insieme massimale nella famiglia \( \mathcal B \) dei sottoinsiemi linearmente indipendenti dello spazio (e, poiché questo è di tipo finito, posso evitare il lemma di Zorn e amici). L'esistenza di un elemento massimale in \( \mathcal{B} \) è implicata dall'esistenza di un massimo nell'insieme dei naturali \( k \) per i quali esiste un insieme di cardinalità \( k \) linearmente indipendente. Tale insieme non è vuoto, e se non ammettesse massimo, per ogni insieme linearmente indipendente di \( k \) elementi ne esisterebbe un altro di \( l>k \) elementi. \( \square \)
Come va? Mi sembra un modo di procedere più coerente con la dimostrazione del caso di \( V \) non di tipo finito.