Curva irriducibile

[rsrre1588]

Sia C una curva nel piano affine complesso di equazione affine (x^2 - y)^2 - y^3 = 0.
Sapendo che l'unico punto singolare è l'origine, trovarne la molteplicità, dimostrare che la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) e che C è razionale trovandone una sua parametrizzazione. Dimostrare l'irriducibilità di C.

Scusate per l'utilizzo inappropriato delle formule ma non ho ancora imparato ad inserirle.
A parte questo, come si procede in un esercizio del genere?

Premetto che i punti singolari riesco a trovarli facendo la derivata rispetto a x, y, considerando l'equazione della curva, faccio il sistema e trovo l'origine.
Ma la molteplicità? E il fatto che sia razionale e una sua eventuale parametrizzazione da dove lo deduco?
L'irriducibilità?

Spero in un vostro aiuto. Grazie!

[Reyzet]

Ciao, intanto la scriverei in $mathbb\{P}^2$ come $(x^2-yz)^2-y^3 z=0$. Come hai detto i punti singolari si ottengono ponendo le derivate (anche rispetto a z, per evitare di perdere eventuali punti impropri nella tua carta affine con x e y, cioè punti con z=0). Ora effettivamente l'unico punto singolare è $(0:0:1)=(0,0)=O$. In questo caso (per i punti fondamentali, cioè tutti zero e un solo 1 nella posizione i-esima) la molteplicità è data disomogeneizzando rispetto alla opportuna variabile relativa all'1 (in questo caso la z) e prendendo il termine omogeneo di grado minimo, in tal caso si ottiene che esso è $y^2=0$ (che sarà pure il cono tangente) e quindi si ha che la molteplicità è 2, perciò la somma è quella che dici tu (minore di 6) oppure osservando che la derivata parziale seconda fatta rispetto a y due volte è non nulla in O. L'irriducibilita non è difficile da vedere (basta osservare che a sinistra avresti un quadrato e a destra no), si fa come si studia l'ireiducibilita di un polinomio in algebra. Infine per la razionalità mi sembra strano, i criteri che conosco io non sono applicabili per questa quartica. Ci devo pensare

[j18eos]

[...] la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) [...]

Come scrissi a una mia studentessa

!allun otìpac oh noN

Riguardo la razionalità: si nota che
\[
(x^2-y)^2-y^3=0\\
(x^2-y)^2=y^3
\]
quindi dev'essere \(\displaystyle y=u^{2n}\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq1}\). Fissato ciò:
\[
(x^2-u^{2n})^2=u^{6n}\\
x^2-u^{2n}=u^{3n}\\
x^2=u^{3n}-u^{2n}\\
x^2=u^{2n}(u^n-1)\\
x=u^n\sqrt{u^n-1};
\]
volendo eliminare la radice quadrata, si ponga \(\displaystyle u^n-1=t^2\), quindi:
\[
\begin{cases}
x=(t^2-1)t\\
y=(t^2-1)^2
\end{cases}.
\]
In particolare, la curva considerata è l'immagine della seguente funzione (continua rispetto alle topologie di Zariski del dominio e del codominio):
\[
\gamma:t\in\mathbb{A}^1\to\left(t(t^2-1),(t^2-1)^2\right)\in\mathbb{A}^2.
\]

[Reyzet]

[...] la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) [...]

Come scrissi a una mia studentessa

!allun otìpac oh noN

Riguardo la razionalità: supponi che \(\displaystyle xy\neq0\) e poni \(\displaystyle y=ux^2\), l'equazione diventa
\[
\begin{cases}
y=ux^2\\
(x^2-ux^2)^2-u^3x^6=0
\end{cases}
\]
per le ipotesi di sopra, la seconda equazione ottenuta diventa, mediante una divisione per \(\displaystyle x^4\)
\[
(1-u)^2-u^3x^2=0\\
x^2=\frac{(1-u)^2}{u^3}.
\]
si noti che dev'essere \(\displaystyle u\neq0\) per le ipotesi assunte.

Si ponga \(\displaystyle t=\frac{1}{u}\) e si ottiene che
\[
x^2=t^3\left(1-\frac{1}{t}\right)^2=t^2(t-1)^2\\
\begin{cases}
x=t(t-1)\\
y=t(t-1)^2
\end{cases}
\]
Sperando di non aver commesso qualche errore di calcolo...

Interessante questo metodo, è simile a quello che si fa quando si ha un punto ($d-1$)-plo.
Comunque penso proprio che s sia il numero di punti singolari, $m_{i}$ la molteplicità di ognuno di essi e $d(=4)$ il grado della curva.

[rsrre1588]

Ma come si fa a dimostrare l'irriducibilità di questa quartica?
Si osserva che il polinomio a sinistra (x^2-y)^2 ha grado 4 e potenza 2 mentre il polinomio a destra y^3 ha grado 3 e potenza 3 e questo sarebbe un cenno alla dimostrazione.
Ma sapreste dirmi i passaggi che portano alla conclusione dell'irriducibilità della curva C?
Non ne ho idea, sapreste aiutarmi?
Per l'aiuto che mi avete dato sulla rimanente parte dell'esercizio grazie mille.

[j18eos]

Ho corretto il mio precedente post, 'ché c'era un errore di calcolo...

[rsrre1588]

Buongiorno j18eos. Grazie mille per i tuoi interventi.
Ma come si dimostra l'irriducibilità di C? Perdonami se sono ripetitivo ma non ha ancora nessuno risposto.

[j18eos]

Utilizzando \(\displaystyle\gamma\): m'ero dimenticato di scriverlo!

Sai cosa intendo?

[rsrre1588]

Ho capito che devo considerare la trasformazione affine, ma in che modo?

[rsrre1588]

E poi mi chiedevo questa curva quanti punti doppi ordinari ha? E quanti punti doppi cuspidali di prima specie ha?
Lo dicevo per C per calcolarne il suo genere perché una condizione di razionalità dice che una curva è razionale se e solo se il suo genere è 0.