Visto che anto chiede, la parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) emerge perché
\[
x^TAx=x^T\left(\frac{1}{2}(A+A^T)\right)x,\]
quindi una stima della forma quadratica \(x^TAx\) deve necessariamente dipendere solo dallo spettro della parte simmetrica. Dimostrazione, facile:
\[
x^TAx=x^T\left( \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)\right)x, \]
e \(x^T(A-A^T)x=x^TAx - x^TA^Tx =0\), perché come anto ha detto in uno dei primi post, \((x^TAx)^T=x^TAx\) visto che \(x^TAx\) è uno scalare.
In particolare, la generalizzazione a \(\frac{1}{2}(A+B)\) è senza speranza. Invece, la generalizzazione a spazi di dimensione infinita è una cosa sensata:
https://books.google.es/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false, Proposition 6.9.