Derivata di prodotto matriciale

[Enri93]

Buonasera a tutti!

Sto studiando la teoria della contrazione, relativa ai sistemi non lineari. Brevemente si cerca una condizione per la quale due traiettorie, distanti un certo \(\displaystyle \delta x \), convergono dopo un certo tempo. Le slide da cui studio definiscono la velocità \(\displaystyle \delta \dot{x}=\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \delta x\), mentre la derivata della distanza al quadrato viene calcolata come segue:

\(\displaystyle \frac{d}{dt} (\delta x^T \delta x)=2 \delta x^T \delta \dot{x} \)

La cosa che non mi quadra è proprio la derivata. Se non erro andrebbe fatta la derivata del primo per il secondo non derivato più il viceversa. Però come ottiene quella forma finale? C'è qualcosa che non sto considerando? Grazie anticipatamente

[anto_zoolander]

Ciao!

Quanto dici è corretto; fai la derivata come ti fai solitamente e poi considera che $x^T y=y^Tx$. Cosa ti viene?

[Enri93]

Ciao!

Quanto dici è corretto; fai la derivata come ti fai solitamente e poi considera che $x^T y=y^Tx$. Cosa ti viene?

Ciao, grazie per la risposta intanto. La prima parte della derivata dovrebbe essere \(\displaystyle \delta \dot{x}^T \delta x \), mentre la seconda \(\displaystyle \delta \dot{x} \delta x^T \). Ho dei dubbi però su quella relazione che mi hai scritto, vale sempre?

[anto_zoolander]

È la classica derivata del prodotto; il primo derivato per il secondo non derivato sommato al viceversa.

[Enri93]

È la classica derivata del prodotto; il primo derivato per il secondo non derivato sommato al viceversa.

Hai ragione, ho sbagliato a scrivere, adesso ho corretto. Il problema è che non capisco come mai valga l'uguaglianza \(\displaystyle x^T y=y^T x \). Il secondo membro non dovrebbe essere il trasposto del primo?

[anto_zoolander]

La quantità $x^Ty$ è un numero no?
Un numero e il suo trasposto coincidono quindi

$x^Ty=(x^Ty)^T=y^T(x^T)^T=y^Tx$

[Enri93]

In realtà non lo so però ci possiamo ragionare insieme.\(\displaystyle \delta x \) rappresenta lo scostamento virtuale tra le due traiettorie (quindi dovrebbe essere un numero), mentre \(\displaystyle \delta \dot{x} \) rappresenta la velocità, di conseguenza anche questo è un numero. Sbaglio?

[anto_zoolander]

Tu devi ragionare sul prodotto.

Hai che $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)$

Ti interessa dimostrare che quella quantità è $2deltax^Tdeltadot(x)$

In generale sai che $underbrace([(x_1,...,x_n)])_(x^T)*underbrace([(y_1),( : ),(y_n)])_(y)=sum_(k=1)^(n)x_ky_k$

Questo significa che la quantità $x^Ty$ è un numero e vale quanto detto sopra. quindi si deduce che $deltadot(x)^Tdeltax=deltax^Tdeltadot(x)$

Quindi $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)=2deltax^Tdeltadot(x)$

Ricordati che il prodotto scalare di due vettori è un numero.

[Enri93]

Hai ragione, adesso ho capito. Sei stato chiarissimo! Grazie mille

[Enri93]

Purtroppo ho un altro problema

Sempre nelle slide scrive che \(\displaystyle \lambda_{max} \) è l'autovalore massimo della parte simmetrica dello Jacobiano \(\displaystyle J_s=\frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f^T}{\partial x}) \), di conseguenza vale la seguente

\(\displaystyle \frac{d}{dt}(\delta x^T \delta x)=2\delta x^T \delta \dot{x}=2\delta x^T \frac{\partial f}{\partial x} \delta x \le 2 \lambda_{max} \delta x^T \delta x\)

Non capisco come mai valga questa cosa. È come se dicesse che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \le \lambda_{max} \), ma non è possibile poichè parliamo di un numero e di una matrice. Come mai questa cosa? C'è qualche proprietà che non considero? Grazie anticipatamente