Derivata di prodotto matriciale

[anto_zoolander]

Ciao!
prima di tutto vorrei sapere che funzione è $f$; è un campo vettoriale o un campo scalare? Inoltre cosa è $(partialf)/(partialx)$? scrivendo $J_s=...$ sembra che sia una matrice; intendi la Jacobiana?

dovresti chiarire queste notazioni.

[dissonance]

Si, le notazioni non sono da matematico, ma comunque è chiaro cosa stia facendo; usa la disuguaglianza
\[
x^TAx\le \lambda_{\mathrm{max}}x^T x, \]
dove \(\lambda_{\mathrm{max}}\) è l'autovalore più grande della parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) della matrice \(A\), e \(x\in\mathbb R^n\).

Nel testo, sta applicando questa disuguaglianza alla matrice \(A=\frac{\partial f}{\partial x}\), evidentemente una notazione per la matrice Jacobiana di una funzione \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).

[anto_zoolander]

@peppe

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

io mi sono fomentato nel cercare di generalizzarlo perché pensavo proprio alla seguente cosa;

Se $(V,*)$ è uno spazio euclideo di dimensione $n$ reale e $T_1,T_2 in E n d(V)$ sono endomorfismi tali che $T_2$ sia autoaggiunto rispetto a $*$. Posto $L=1/2(T_1+T_2)$ e $rho(#)$ il raggio spettrale;

$v*(L(v)-rho(T_2)v)leq0,forallv in V$

Pensi si possa modificare per renderlo sensato? Almeno ho qualcosa da fare nei successivi tre giorni in cui vado a Ragusa per un matrimonio

Mi piacerebbe farlo in dimensione infinita ma non sono competente ancora.

[dissonance]

Visto che anto chiede, la parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) emerge perché
\[
x^TAx=x^T\left(\frac{1}{2}(A+A^T)\right)x,\]
quindi una stima della forma quadratica \(x^TAx\) deve necessariamente dipendere solo dallo spettro della parte simmetrica. Dimostrazione, facile:
\[
x^TAx=x^T\left( \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)\right)x, \]
e \(x^T(A-A^T)x=x^TAx - x^TA^Tx =0\), perché come anto ha detto in uno dei primi post, \((x^TAx)^T=x^TAx\) visto che \(x^TAx\) è uno scalare.

In particolare, la generalizzazione a \(\frac{1}{2}(A+B)\) è senza speranza. Invece, la generalizzazione a spazi di dimensione infinita è una cosa sensata: https://books.google.es/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false, Proposition 6.9.

[anto_zoolander]

grazie, tra le altre cose, per aver citato questo libro