parabola con asse obliquo

[Tye4]

Salve a tutti.
Sappiamo che nella parabola in forma canonica il coefficiente "a" ci dà informazioni riguardo all'ampiezza della parabola (più o meno stretta).
Se ho una parabola non in forma canonica (rototraslata) quale termine della sua equazione può darmi informazioni riguardo all'ampiezza della parabola?
Il problema è sorto riducendo a forma canonica una parabola con il metodo degli invarianti.
Bene, andando a controllare con Geogebra il grafico prima e dopo la riduzione, ho notato che, pur avendo ottenuto la regolare forma canonica, il grafico di quest'ultima appare con ampiezza superiore rispetto a quello della parabola originaria non in forma canonica.
Mi sto chiedendo se ho sbagliato qualcosa nella riduzione e come posso controllare se il risultato ottenuto è, comunque, corretto.
Per fare un esempio, riducendo a forma canonica la parabola x^2+y^2+2xy+2y+1=0 ottengo l'equazione
y = (1/sqrt(2)) * x^2.
Andando a rappresentare con Geogebra le due equazioni, chiunque può notare che l'ampiezza della parabola in forma canonica sembra maggiore di quella originaria.
Ringrazio chi, gentilmente, volesse dirimere i miei dubbi.

[@melia]

L'apertura di una parabola è determinata dalla distanza tra il fuoco e la direttrice, e, nel caso di parabole in forma canonica con fuoco $F(p, q)$ e direttrice $y=d$, anche dal coefficiente del termine di secondo grado in quanto $a=1/(2q-2d)=1/(2*(text{distanza fuoco-direttrice})$.
Non ho idea di quali siano le formule per determinare fuoco e direttrice di una parabola in forma non canonica per cui mi sono calcolata manualmente fuoco e direttrice della parabola nella prima forma ottenendo fuoco $F=(1/4, -3/4)$ e direttrice $x-y-1/2=0$ per calcolarne poi l'apertura.
Non metto la mano sul fuoco per quanto riguarda la correttezza dei miei calcoli, ma concordo con te sull'errore di calcolo che sicuramente hai fatto perché le due parabole hanno aperture diverse.

[Tye4]

Grazie Omelia per la gentile risposta.
Dunque, probabilmente deve esserci un errore di calcolo. L'unico modo per averne la certezza è tentare nuovamente di ridurre la conica a forma canonica.
Il risultato che viene a me l'ho già postato. Potresti provare a fare tu la riduzione (con il metodo degli invarianti) per vedere se ti viene un risultato diverso?

[@melia]

Credo debba venire $y=sqrt2*x^2$

[Tye4]

Grazie mille Omelia il tuo risultato è perfetto anche controllandolo con Geogebra. Ho fatto un banale errore di calcolo.

[dissonance]

L'apertura di una parabola è determinata dalla distanza tra il fuoco e la direttrice[...]
Non metto la mano sul fuoco [...]

Metti la mano sulla direttrice allora.

A parte questo, @Tye: credo si dica "Amelia", con la A.

[sandroroma]

"Metti la mano sulla direttrice allora".....