Sostituire una colonna in una matrice identità?

[daffeen]

Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio che mi è sorto dimostrando la regola di Cramer.
Supponiamo di avere una matrice identità e un vettore colonna di numeri reali presi a caso:
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

e [1,3,-1].

Se sostituisco questa colonna alla i-esima colonna della matrice identità, il determinante avrà il valore dell' i-esimo elemento della vettore di numeri "casuali". Esempio:

......[1 0 0]
A = [3 1 0] det(A) = 1
......[-1 0 1]

........[1 1 0]
B = [0 3 0] det(B) = 3
........[0 -1 1]

......[1 0 1]
C = [0 1 3] det(C) = -1
......[0 0 -1]

Per quale motivo avviene ciò? Grazie mille

[dissonance]

Cerca di scrivere bene le matrici, così è fastidioso rispondere. Comunque, è una domanda carina.

Il motivo è che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla diagonale. Questo implica che
\[
\det \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ b& 1 & 0 \\ c& 0 & 1\end{bmatrix} = a, \quad \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} = c.\]
Nel caso di
\[
\begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & c & 1\end{bmatrix}\]
c'è da fare un passaggio in più. Se \(b=0\) la matrice ha una riga nulla, e quindi il determinante è zero. Se \(b\ne 0\), con sottraendo alla terza riga la seconda moltiplicata per \(c/b\) (operazione che non altera il determinante), la matrice si riduce a
\[\begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]
che è triangolare.

[dissonance]

Ma guarda che coincidenza, proprio oggi ho trovato una applicazione di questa tua osservazione. Si usa per calcolare l'espressione in coordinate della divergenza su una varietà Riemanniana. Si veda http://www.math.mcgill.ca/toth/spectral%20geometry.pdf, pag. 42, la formula subito dopo "Definition 13". I simboli sembrano strani, ma in realtà
\[
dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n(\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots ,X, \ldots \frac{\partial}{\partial x^n})\]
significa esattamente "il determinante della matrice identità a cui la \(i\)-esima colonna è stata sostituita con la colonna \(X=(b^1, \ldots, b^n)^T\)".