Curva nel piano proiettivo

[rsrre1588]

Sia assegnata la curva irriducibile in P^2(K) con K campo descritta dalla seguente equazione

f(x,y,t) = x^4 - 2x^2yt - y^3t + y^2t^2 = 0

1) Determinare il grado della curva e dire di quale curva si tratta.
2) Determinare il numero dei punti doppi cuspidali di prima specie
3) Determinare il numero dei punti doppi ordinari

Riesco a fare il punto 1), ho difficoltà nei punti 2) e 3).
Il grado della curva è 4 perché il max deg = 4 dove deg è il grado e si tratta di una quartica.
Mi aiutereste voi a risolvere i punti 2) e 3)?

[Reyzet]

Ciao, mi potresti dire le definizioni di punto doppio ordinario e cuspidale di prima specie che conosci tu? Così magari posso aiutarti come anche nell'altra discussione

[rsrre1588]

Sia C una curva algebrica piana affine reale e P un suo punto doppio. Diremo
che
- P e un nodo ordinario se f ha due radici distinte reali, ovvero se C
possiede due tangenti principali distinte e reali in P;
- P e un nodo isolato se f ha due radici complesse non reali, quindi C
possiede due rette tangenti distinte complesse non reali in P;
- P e un punto doppio non ordinario se f ha una sola radice di molte-
plicità 2, necessariamente reale, cioe C possiede una sola retta tangente
in P contata due volte.
In particolare P e una cuspide di prima specie se è un punto doppio non ordinario
in cui l'unica retta tangente incontra la curva con molteplicità esattamente
3.
Si denota con f(l,m) = al^2 + blm + cm^2
^ è l'elevamento a potenza.

[rsrre1588]

Reyzet ti ho scritto: sapresti aiutarmi per favore?

[Reyzet]

Se non ho fatto male i conti mi viene come unico punto doppio il punto $(0:0:1)$ con molteplicità 2 appunto, non ordinario e non cuspidale (la tangente è y=0 che ha molteplicità di intersezione 4 con la curva)

[rsrre1588]

Ma come hai fatto a stabilire la molteplicità di intersezione con la curva C?
Hai tagliato la curva di eq. affine x^4 - 2x^2y - y^3 + y ^2 = 0 con la retta tangente y = 0? Quindi scompare la parte letterale in y e rimane l'equazione x^4 = 0 che ovviamente ha molteplicità 4?
Il punto in tal caso come viene detto?