Tutti i punti di \( S^k \) sono punti di accumulazione di \( D^{k+1} \)

[marco2132k]

Ciao. In uno spazio euclideo, considero aperto un insieme per cui ogni suo punto è interno, e chiuso un insieme che contenga ogni suo punto di accumulazione. WLOG, vorrei provare che il disco unitario \( D^{k}:=\left\{x\in\mathbb{R}^{k}:\lVert x\rVert<1\right\} \) non è chiuso (con tale caratterizzazione, ovviamente).

Devo provare che esiste un punto di accumulazione di \( D^{k+1} \) che non è contenuto nell'insieme. Sia \( x\in S^k \) (la sfera unitaria di dimensione \( k \)). L'intuizione mi dice che ogni intorno di \( x \) interseca \( D^k \); io non lo so dimostrare.

Sebbene abbia riformulato la domanda in modo più comprensibile, all'inizio ho fatto i miei tentativi su \( D^2\subset\mathbb{R}^2 \).

edit. Riscritta la domanda, in modo più chiaro.
edit2. Apportate le correzioni sull'esponente di "\( D^1 \)".

[anto_zoolander]

Ciao marco

Lo spazio in considerazione è normato(o semplicemente $RR^n$)?
Con $D^(1)$ intendi il disco con o senza bordo?

[marco2132k]

Ciao. Normato (\( \mathbb{C} \), o l'euclideo \( \mathbb{R}^k \)); il disco è senza bordo, \( D^1=\left\{z\in\mathbb{C}:\lvert z\rvert<1\right\} \). Invece \( S^1 \) è il circolo \( x^2+y^2=1 \). Scusa, avrei dovuto specificarlo.

[anto_zoolander]

In genere ogni spazio normato $(X,norm(*))$ è convesso e quindi connesso.

In un connesso gli unici chiusi e aperti contemporanemente sono $X$ e $emptyset$. Considerando che $D^1$ è aperto, non vuoto e diverso da $X$ non può essere chiuso.

Questo vale per qualsiasi spazio normato
Se ti sposti negli spazi metrici la cosa può cambiare leggermente

Nota che la tua topologia è quella euclidea e quindi in particolare indotta da norme e distanze

[marco2132k]

Sì, è vero. Mi interessava in particolare, però, dimostrare che tutti i punti di \( S^1 \) sono aderenti a \( D^1 \).

Altrimenti, provare che una palla (in uno spazio metrico, non necessariamente normato) aperta non è chiusa è banale: se \( \left(X,d\right) \) è lo spazio, il complementare \( X\setminus B_r(x) \) della palla \( B_r(x) \) non è aperto, perché un punto di \( \partial B_r(x) \) sarà, per def., di accumulazione per \( B_r(x) \).

[marco2132k]

Sì, volevo scrivere una cosa del genere riguardo a \( D^{k+1} \) e \( S^k \), ma mi son fatto confusione (ora correggo).

Considerata una base di intorni di un punto¹ (sia \( (1,0) \) di \( S^1 \)), posso considerare direttamente una base, dato che il mio scopo è provare che il tale punto è un punto di accumulazione.

Ma allora questo intorno comprende per esempio il punto ... che giace anche ... etc. Convinciti che non dipende dal particolare punto scelto su \( S^1 \) e poi generalizza al caso \( k \)-dimensionale.

Ciò è esattamente quello che ho provato a fare: cercavo, un hint su quale punto dell'intorno potessi prendere.

L'idea che ho, è riscalare in funzione del raggio dell'intorno della base delle palle il punto \( (1,0) \) che ho scelto. Potrei prendere \( (1,0)-(r/\operatorname{diam}D^2,0) \), dove \( r \) è il raggio della palla \( B\left((1,0),r\right) \). Ma per un certo valore di \( r \) non è vero tale punto giacerà in \( D^2 \).

Se \( r\geqq\lambda \), dove \( \lambda \) è la soluzione dell'equazione \( \left(1-r/\operatorname{diam}D^2\right)^2+0^2\geqq 1 \), allora, dovrei allora provare che \( D^2\subset B\left((1,0),r\right) \); e, forse, mettendomici giù a scrivere riuscirei. Ma non mi sembra essere questa la soluzione.

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Note

1. Per base di intorni di \( x\in X \), dove \( X \) è uno spazio - metrico o topologico -, intendo una sottofamiglia dell'insieme degli intorni di \( x \), tale che per ogni intorno \( U \) del punto, ci sia un \( V \) della base contenuto in esso. ↑

[marco2132k]

Questo

\( (1-r/2, 0) \), in effetti devi assicurarti che questo non ''esca dall'altra parte'', ma assumere che sia \( r<2 \) non lede le generalità (se l'intorno che scegli ha raggio maggiore di due, conterrà di sicuro un intorno di raggio minore di due...).

era proprio il punto che mi mancava. Da me direbbero: "Ti ga el parsutto sui oci".

Grazie a tutti!