Buon pomeriggio, mi è capitato il seguente esercizio tra le mani di cui non ho la soluzione:
"Sia $r_1$ la retta definita dalla condizione $x = 2y = z$ e $\pi$ il piano $x = y + z$.
(a) Spiegare perché una retta $r_2$ appartenente al piano π può incontrare la retta $r_1$ solo se è esprimibile sotto la forma $r_2 ∶ (x , y , z) = (at, bt, ct)$.
(b) Trovare $a, b, c in RR$ affinché la retta $r_2$ risulti ortogonale alla retta $r_1$ .
Per il punto a) ho pensato a questa soluzione:
Una parametrizzazione della retta $r_1$ è la seguente $(x,y,z) = (2t,t,2t)$ quindi la sua direzione è descritta dal vettore $\vec v_1 = (2,1,2)$ e passa per l'origine $O=(0,0,0)$.
Il piano $\pi$ contiene $O$ ed il vettore normale ad esso ha componenti $\vec n = (1,-1,-1)$.
Il prodotto scalare $\vec v_1 * \vec n = (2,1,2)*(1,-1,-1) = -1 !=0$ quindi $r_1$ e $\pi$ sono incidenti in $O$, ragion per cui una retta appartenente a $\pi$ deve necessariamente passare per $O$ e quindi essere della forma $(x,y,z) = (at,bt,ct)$
b) Considero $\vec v_2 = (a,b,c)$ come il vettore direzione di $r_2$. Affinché $r_1$ ed $r_2$ siano ortogonali dev'essere $\vec v_1 * \vec v_2 = 0$, in particolare:
$(2,1,2)*(a,b,c) = 0$ ed ad esempio tale condizione è verificata prendendo $a = 1, b =1, c=-3/2$
Può andare? Grazie in anticipo