Applicazioni lineari e base

[Rebb10]

Ciao, potresti darmi qualche delucidazione su questo esercizio...
Siano $S:RR^3 -> RR^3$ e $T:RR^2 -> RR^4$ le applicazioni lineari date da
$S (x_1,x_2,x_3)=[[x_1+x_2], [x_1-x_2+x_3]]$, $T (y_1,y_2)=[[y_1+y_2], [2y_1+2y_2],[0],[-y_1-y_2]]$.
Si trovino una base ${v_1,v_2,v_3}$ di $RR^3$, una ${u_1,u_2}$ di $RR^2$ e una ${w_1,w_2,w_3,w_4}$ di $RR^4$ tali che $S(v_1)=0$, $S(v_2)=u_1$, $S(v_2)=u_1$, $S(v_3)=u_2$, $T(u_1)=0$, $T(u_2)=w_1$.

Non so dove mettere le mani, ho provato per prima cosa a scrivere la matrice associata all'applicazione $S$, ma i vettori sono linearmente dipendenti...

Grazie per l'aiuto!!

[caulacau]

\(S\) va verso \(\mathbb R^2\), c'è un typo nel testo; per il resto, basta trovare come sempre si fa il nucleo di \(S\) imponendo \(\left[\begin{smallmatrix} x_1+x_2 \\ x_1-x_2+x_3 \end{smallmatrix}\right] = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right]\), e lo spazio generato dalle colonne della matrice \(S\) che si ottiene scrivendo \(S(x_1,x_2) = S\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2\end{smallmatrix}\right]\).

[Bokonon]

Immagino che $S:RR^3 -> RR^2$
Conviene procedere al contrario. Trova la matrice T associata all'applicazione e visto che una condizione è $T(u_1)=0$ risolvi il sistema omogeneo, ovvero trova una base per il $Ker(T)$, per esempio $u_1=<1,-1>$
Ora, per completare la base, ci serve un vettore $u_2$ lin. indip. da $u_1$ che si trovi nell'immagine della matrice S, per esempio $u_2=<1,1>$.

$S(v_1)=0$ quindi $v_1$ è una base del $Ker(S)$, per esempio $v_1=<-1,1,2>$
$S(v_2)=u_1=<1,-1>$ perciò $v_2=<0,1,0>$
$S(v_3)=u_2=<1,1>$ perciò $v_3=<1,0,0>$
E abbiamo anche la base V.

$T(u_2)=w_1=<2,4,0,-2>$ e abbiamo un vettore. Completa la base con altri tre vettori lin. indip. a piacere ed hai completato l'esercizio