Reyzet ha scritto:L'isomorfismo sarebbe dato fissando un vettore v e prendendo il funzionale $g(v,.)$?
Sì.
Quindi ok in questo caso l'isomorfismo è canonico, ma per uno spazio vettoriale non euclideo invece?
Per uno spazio non euclideo non c'è nessun isomorfismo canonico. Il motivo è che affinché esista, deve succedere che il quadrato
\[
\begin{CD}
V @>\cong>> V^\lor \\
@VfVV @AA{f^\lor}A \\
W @>>\cong> W^\lor
\end{CD}
\] commuti per ogni \(f : V \to W\). Nessun isomorfismo del genere può esistere. Perché? Perché se imponi che esista una tale famiglia \(\alpha_V : V \to V^\lor\), per esempio quando tutti gli spazi in esame hanno dimensione finita, significa che \(\alpha_V(v)(\_) = \alpha_W(f(v))(f\_)\); fatti un esempio che ti mostri che questo non può accadere: intuitivamente, LHS non dipende da \(f\), RHS sì. \(f\) è scelto ad arbitrio, \(\alpha\) però è un isomorfismo: cosa succede se \(f\) ha un nucleo molto grande? Cosa succede se \(f\) è la mappa zero?
Questo diventa ancora più vero quando gli spazi non hanno dimensione finita (mentre in dimensione finita si può dimostrare che \(\dim_KV = \dim_KV^\lor\), e quindi un isomorfismo deve esistere; quel che hai appena dimostrato è che se esiste una famiglia di \(\alpha_V\) "canonica" come sopra, allora ciascuna componente deve essere la mappa zero).
PS: Formalmente, quello che stai dicendo è che la dualizzazione come funtore \({\sf Vect}^\text{op}\to {\sf Vect}\), non è
isomorfo all'identità. E in effetti, non può esserlo, perché l'argomento sopra ha mostrato che qualsiasi trasformazione naturale \(\text{id}_{\sf Vect} \Rightarrow (\_)^\lor\) deve essere fatta da una famiglia di mappe zero.