Punti passante una retta in tre dimensioni

[carloberd]

Ciao a tutti. Sono in procinto di dare l'esame di algebra lineare e geometria e rifacendo esami di anni passati mi sono imbattuto in questo esercizio. Non essendoci la soluzione e non avendo mai incontrato un esercizio simile mi sono trovato un po' in difficoltà.
Mi vengono date delle rette in $A^3$:

$\{(x + alphay + alphaz=2),(betax+2y-2betaz=-2):}$

dove $\alpha$ e $\beta$ $in$ $\RR$. Mi si chiede di verificare che le rette passano tutte per lo stesso punto $\P$ $\AA$ $\alpha$ e $\beta$.

Ho provato a passare dall'equazione cartesiana a quella parametrica, ponendo $\z = t$ e isolando $\x$ e $\y$ ma risultano calcoli rognosetti per colpa delle costanti.
Cambiando approccio, ho provato a risolvere il sistema partedo dall'isolare la x e sostituirla nella seconda equazione, per poi isolare una delle altre due incognite e sostituire, ma anche in questo caso le costanti complicano tutto.
Come terzo tentativo ho provato a ricondurmi ad una forma del tipo

$\(x-x_p)/a = (y-y_p)/b = (z-z_p)/c$

ma senza risultati.
Non so se sto completamente sbagliando il metodo di risoluzione o se ho sbagliato qualche passaggio per via delle costanti. Il problema è che esercizi del genere non sono stati mai affrontati a lezione e la soluzione dell'esercizio non è presente nel pdf dell'esame.

Se qualcuno ha qualche consiglio o dritta sul metodo migliore per affrontare l'esercizio, o sa dirmi dove ho sbagliato gliene sarei veramente grato.

Grazie a tutti
Carlo

[gugo82]

Più semplice.

Prendi due rette a casaccio nell’insieme, tipo quelle che si ottengono per $alpha =0=beta$ e $alpha =1, beta =0$, intersecare e trova un punto $P$ candidato ad essere il punto che ti serve.
Dopodiché, inserisci le coordinate del punto $P$ nelle equazioni coi parametri e vedi se esse sono soddisfatte per ogni $alpha ,beta in RR$.

[Bokonon]

@gugo82
Azz, questa è una risposta che avrei dato io.
Che ti succede? Sei ancora in versione balneare?

[carloberd]

Mannaggia a me non ci avevo minimamente pensato. Il procedimento funziona e risulta per ogni alpha e beta!
Grazie infinite!!

[gugo82]

@ Bokonon:

@gugo82
Azz, questa è una risposta che avrei dato io.
Che ti succede? Sei ancora in versione balneare?

Nooo, niente mare quest’anno… Ho impegni importanti in città.

E comunque una risposta del genere è una buona risposta.


@ carloberd: Lieto di aver aiutato.

Tuttavia il fatto che il procedimento funzioni può essere puro “culo”… Ma invece no.
E lascio a te giustificare perché le scelte fatte portino al risultato.

[@melia]

Ho un'altra via, solo algebrica, molto veloce.
Ho ricavato $alpha$ dalla prima equazione e $beta$ dalla seconda, ho imposto che le equazioni fossero indeterminate, ottenendo $x=2$ e $y=-1$, sostituendo nelle equazioni si ottiene in entrambe $z=1$

[carloberd]

Grazie melia, non avevo pensato ad isolare le costanti, dopo per esercizio proverò a rifarlo col tuo metodo.
Volevo approfittarne per chiedere un parere sul procedimetnto che ho usato per svolgere un altro punto dello stesso esercizio.
Mi si chiede di trovare, se esiste, un piano che racchiuda tutte le rette del sistema scritto sopra $\AA alpha$ e $\beta$.

Io l'ho svolto così: ho utilizzato la formula per il fascio di piani di asse la retta r

$\lambda(x+alphay+alphaz-2)+mu(betax+2y-2betaz+2)=0$

Ho preso poi un punto non appartenente alla retta per determinare il piano, e ho scelto il punto $\P=(1,-1/2,1/2)$ perchè annulla le costanti $\alpha$ e $\beta$. Sosituendo ottengo $\-lambda=mu$, da cui ponendo $\mu=1$ ottengo:

$\-x-alphay-alphaz+2+betax+2y-2betaz+2=0$

ottenendo poi l'equazione del piano:

$\(beta-1)x+(2-alpha)y-(alpha+2beta)z+4=0$

Ora, non so se sia giusto, ho qualche dubbio, sopratutto nella scelta del punto P. Voi cosa ne dite?