tempo fa mi chiesi le stesse cose
Le motivazioni che hanno portato all'introduzione di questi enti sono molteplici, tra cui
-
dare una generalizzazione analitica di tutta la geometria elementare-
staccarsi dall'origine-
trattare insiemi del tipo ${v in V: L(v)=w}$ con $L:V->W$ omomorfismo di spazi e $w in W$ fissato
partiamo dalla definizione di spazio affinesupponi di avere un insieme $X$ non vuoto e uno spazio vettoriale $V$ per cui esista una funzione
$a:XtimesX->V$ si pone $a(P,Q):=vec(PQ)$ o $a(P,Q)=Q-P$
che gode delle seguenti proprietà
1.
il classico "metodo punta-coda" $a(P,Q)=a(P,R)+a(R,Q)$ per ogni $P,Q,R in X$
2.
il poter fissare un sistema di riferimentoper ogni $O in X$ l'applicazione $varphi(P)=a(O,P): X->V$ è invertibile
sulla geometria elementareSi possono dimostrare i seguenti teoremi
- per ogni coppia di punti esiste un'unica retta che passa per quei due punti
- per ogni terna di punti esiste un'unico piano che passa per quei tre punti
- il quinto postulato di Euclide e generalizzarlo
- il teorema di Talete
sulle equazioniogni equazione del tipo di sopra può essere vista negli spazi affini come
$Sigma={P in X: L(vec(OP))=w}$ che coincide con $P_0+Ker(L)$
questo è uno spazio affine.
Quindi per una applicazione lineare $L:V->W$ tra spazi vettoriali, dato un vettore $w in W$, la controimmagine di $w$, se non vuota, è $L^(leftarrow)(w)={v in V: L(v)=w}=v_0+Ker(L)$ è un sottospazio affine di $V$(dotato della usuale struttura affine con $a(v,w)=w-v$)
staccarsi dall'origineQuesto permette di introdurre il concetto di parallelismo che non è una cosa così banale infatti se non si facesse questa cosa non potrebbe venir definita una nozione di tangenza sfruttando gli spazi vettoriali
Come vedi sia la definizione che le relative conseguenze della definizione di spazio affine hanno senso e non sono prive di significato; sopratutto se vuoi utilizzare gli spazi vettoriali per parlare di geometria.
anche in analisi la si ritrovaquando hai una curva $varphi:(a,b)->RR^2$ differenziabile in un certo $t_0$ si ottiene
$varphi(t)=varphi(t_0)+dvarphi(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0)$
l'applicazione $dvarphi(t_0):RR->RR^2$ è una applicazione lineare continua e in particolare è ancora una curva
puoi notare che $varphi(t_0)+Ker(dvarphi(t_0))$ è proprio il sottospazio affine individuato dalla retta tangente.