22/08/2019, 22:21
22/08/2019, 23:59
23/08/2019, 15:44
23/08/2019, 19:03
24/08/2019, 01:55
24/08/2019, 15:08
marco2132k ha scritto:Ciao. Non puoi pensare che troverai da me o in un post di un forum qualche pretesa di completezza. Cerco direstare sull'intuitivo.
marco2132k ha scritto:1. Ad ora non te lo so inquadrare in un contesto più generale. Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano \( \left(V,{+}\right) \) su cui agisce il gruppo moltiplicativo di un campo. Questo vuol dire che 1) si presume abbia senso, dal lato semantico, mettere insieme elementi di \( V \) in un modo che sia riconducibile al comportamento dell'addizione, quella "sui numeri"; 2) gli elementi del campo possono in qualche modo "riscalare" gli elementi di \( V \). Non sono esattamente fresco in questo momento, ma un'azione di un gruppo \( G \) su un insieme \( E \) è una mappa \( \alpha\colon G\times E\to E \) che manda le coppie \( \left(1_G,x\right) \) in \( x \), e tale che \( \alpha(h,\alpha(g,x))=\alpha(hg, x) \). Pensa, se vuoi, ad ogni elemento di \( G \) come ad un bottone di una pulsantiera; allora l'azione, scelto un elemento di \( E \), lo mappa in un altro, in base a quale tasto hai premuto. La giustificazione della formula adesso è evidente.
Lo spazio \( \mathscr{E} \) della geometria classica è in corrispondenza biunivoca con \( \mathbb{R}^3 \), attraverso la scelta di un sistema di coordinate. È la struttura dell'\( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale \( \mathbb{R}^3 \) ad essere superflua, in questo caso: perché ha senso sommare "segmenti orientati" con la regola del parallelogramma (che diventa \( \left(\big(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\big), \big(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{smallmatrix}\big)\right)\mapsto\big(\begin{smallmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+x_3\end{smallmatrix}\big) \) ), mentre non ne ha un'eventuale somma di "punti", o di triple che a questi punti son fatte corrispondere.
Uno spazio affine è un insieme \( E \) ove agisca in modo transitivo e libero il gruppo additivo di uno spazio vettoriale. Libertà e transitività intendono codificare le proprietà1 di quella che in \( E=\mathbb{R}^3 \), inteso come modello per \( \mathscr{E} \), e dunque privato di ogni struttura, è la fantomatica operazione di "applicazione di un vettore ad un punto". Vediamo come. Un'azione di \( G \) su un insieme qualunque \( E \) è detta transitiva se per ogni coppia di elementi di \( E \) esiste un \( g\in G \) tale che \( y \) sia l'immagine della coppia \( (g,x) \) attraverso l'azione di \( G \). Se \( (V,+) \) è un insieme di "vettori geometrici", e \( E \) è un insieme di "punti dello spazio", è auspicabile che ogni suo punto sia raggiungibile "attaccando una freccia ad hoc ad un altro". Per quanto riguarda il secondo punto, la libertà dell'azione, ciò significa semplicemente l'unico vettore a lasciare invariato un punto è \( 0_V \).
Un'azione transitiva e libera è semplicemente transitiva, ossia quel \( g\in G \) che \( y=gx \) ogniqualvolta siano presi \( x,y\in E \) è unico. Tale elemento è denotato con il simbolo \( y-x \) (ne riesci a vedere un significato geometrico?). Se \( E \) è uno spazio affine, \( y-x \) è un vettore, come è un vettore la velocità. Epperò non esiste il vettore posizione, perché avrebbe poco senso.
anto_zoolander ha scritto:tempo fa mi chiesi le stesse cose
Le motivazioni che hanno portato all'introduzione di questi enti sono molteplici, tra cui
- dare una generalizzazione analitica di tutta la geometria elementare
- staccarsi dall'origine
- trattare insiemi del tipo $ {v in V: L(v)=w} $ con $ L:V->W $ omomorfismo di spazi e $ w in W $ fissato
partiamo dalla definizione di spazio affine
supponi di avere un insieme $ X $ non vuoto e uno spazio vettoriale $ V $ per cui esista una funzione$ a:XtimesX->V $ si pone $ a(P,Q):=vec(PQ) $ o $ a(P,Q)=Q-P $
che gode delle seguenti proprietà
1. il classico "metodo punta-coda"$ a(P,Q)=a(P,R)+a(R,Q) $ per ogni $ P,Q,R in X $
2. il poter fissare un sistema di riferimentoper ogni $ O in X $ l'applicazione $ varphi(P)=a(O,P): X->V $ è invertibile
sulla geometria elementare
Si possono dimostrare i seguenti teoremi
- per ogni coppia di punti esiste un'unica retta che passa per quei due punti
- per ogni terna di punti esiste un'unico piano che passa per quei tre punti
- il quinto postulato di Euclide e generalizzarlo
- il teorema di Talete
sulle equazioni
ogni equazione del tipo di sopra può essere vista negli spazi affini come$ Sigma={P in X: L(vec(OP))=w} $ che coincide con $ P_0+Ker(L) $
questo è uno spazio affine.
Quindi per una applicazione lineare $ L:V->W $ tra spazi vettoriali, dato un vettore $ w in W $, la controimmagine di $ w $, se non vuota, è $ L^(leftarrow)(w)={v in V: L(v)=w}=v_0+Ker(L) $ è un sottospazio affine di $ V $(dotato della usuale struttura affine con $ a(v,w)=w-v $)
staccarsi dall'origine
Questo permette di introdurre il concetto di parallelismo che non è una cosa così banale infatti se non si facesse questa cosa non potrebbe venir definita una nozione di tangenza sfruttando gli spazi vettoriali
Come vedi sia la definizione che le relative conseguenze della definizione di spazio affine hanno senso e non sono prive di significato; sopratutto se vuoi utilizzare gli spazi vettoriali per parlare di geometria.
anche in analisi la si ritrova
quando hai una curva $ varphi:(a,b)->RR^2 $ differenziabile in un certo $ t_0 $ si ottiene$ varphi(t)=varphi(t_0)+dvarphi(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0) $
l'applicazione $ dvarphi(t_0):RR->RR^2 $ è una applicazione lineare continua e in particolare è ancora una curva
puoi notare che $ varphi(t_0)+Ker(dvarphi(t_0)) $ è proprio il sottospazio affine individuato dalla retta tangente.
24/08/2019, 15:38
24/08/2019, 16:45
26/08/2019, 19:50
, e la risposta è precisamente "più morfismi".cosa offre questo rispetto allo spazio vettoriale
27/08/2019, 22:47
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