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Buongiorno a tutti,

sto tentando di risolvere il seguente esercizio:
Dati i vettori $mathbf(u)=(1,1,0)$ e $mathbf(v)=(0,-1,1)$ appartenenti a $mathbb(V)^3$, determinare i versori di $mathbb(V)^3$ che siano complanari a $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ e ortogonali a $mathbf(u)+mathbf(v)$.

Io ho iniziato l'esercizio ponendo il determinante della matrice

$| ( x, y, z), (1, 1, 0), (0, -1, 1)| = 0$

ed ho ottenuto $x-y-z=0$
tuttavia sono bloccato in questo punto dell'esercizio.

Ringrazio tutti per l'attenzione.

Innanzitutto, fatti un’idea.
Secondo te esistono versori che hanno quelle proprietà? Se sì, quanti? Se no, perché?

Poi, hai imposto la condizione di complanarità, i.e. di dipendenza lineare, dei versori $mathbf(w)$ incogniti con i vettori assegnati $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$.
Questa è una sola delle condizioni da imporre su $mathbf(w)$. Quali sono le altre?

Innanzitutto grazie per la risposta, riguardo le altre condizioni da imporre ho pensato che siano

norma del vettore=1 quindi $x^2+y^2+z^2=1$
e poi andrebbe imposta la condizione di ortogonalità ma l'unico modo che conosco per imporla é che il prodotto scalare debba valere zero.

Appunto… Per la norma, Ok.

Per il prodotto scalare, che ci vuole? Sono sicuro che sono cose che conosci e riesci a metterle insieme in due secondi.
Quali sono le componenti di $mathbf(u) + mathbf(v)$? E come si calcola $(mathbf(u) + mathbf(v)) * mathbf(w)$?

Quindi dovrei imporre un sistema con le due condizioni precedentemente dette
${x-y-z=0 ;x^2+y^2+z^2=1$

Se ho ben capito, la soluzione di questo sistema dovrei porla come prodotto scalare con $u+v$.

Sarebbe corretto anche fare $(x-y-z)*(u+v)=0$ ed infine normalizzare il vettore?

è corretto o sbaglio qualcosa?

Non va bene e, francamente, non capisco la logica.

Vuoi determinare un vettore $mathbf(w) =(x,y,z)$ (qui immagino che si stia lavorando in una base scelta opportunamente) in modo che siano soddisfatte contemporaneamente tre condizioni:

1. $mathbf(w)$ dipende linearmente da $mathbf(u) = (1,1,0)$ e da $mathbf(v) = (0,-1,1)$;
   
   
2. $mathbf(w)$ è ortogonale a $mathbf(u) + mathbf(v)$;
   
   
3. $mathbf(w)$ è un versore, cioè $|mathbf(w)| = 1$.

Tali condizioni forniscono altrettante equazioni, poiché infatti esse sono equivalenti a:

1. $|(x, y, z), (1, 1, 0), (0, -1, 1)| = 0 <=> x - y - z = 0$;
   
   
2. $(mathbf(u) + mathbf(v)) * mathbf(w) = 0$;
   
   
3. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$;

e, visto che esse devono valere contemporaneamente, vanno messe a sistema per determinare le tre componenti di $mathbf(w)$.

L’unico problema che rimane aperto (ancora per poco, si spera) è scrivere la 2 in modo da avere anche lì un’equazione in $x$, $y$ e $z$.
Riesci a farlo?

Dopodiché, risolvi il sistema ed hai finito.

Tuttavia, prima di buttarsi a fare conti, sarebbe buona norma riflettere su ciò che ti aspetti come risultato.
È possibile che esistano tali vettori $mathbf(w)$? Se sì, quanti ne potrebbero esistere? Se no, perché?

Quindi se non vado errato otterrei
1. $x-y-z=0$
2. $x-z=0$
3. $x^2+y^2+z^2=1$

Da cui
1. $y=0$
2. $x=z$
3. $z=+-sqrt(1/2)$

È tutto giusto, vero?

printException ha scritto:Quindi se non vado errato otterrei

Da cui
1. $y=0$
2. $x=z$
3. $z=+-sqrt(1/2)$

È tutto giusto, vero?

Nope.
Le condizioni sono:
1. $x-y-z=0$
2. $x+z=0$
3. $x^2+y^2+z^2=1$

Perchè non segui l'ottimo consiglio di Gugo?
Fai un disegno di questo tipo e realizzi immediatamente che i due versori devono essere del tipo $w$ e $-w$.

Se ignoriamo per ora che debba essere un versore e ci concentriamo sul generico vettore di direzione $w$, sappiamo che $w=alphau+betav$ perchè deve stare sul piano.
Da cui sappiamo che $(alphau+betav)^T(u+v)=0$
Sostituendo diventa $(alpha, alpha-beta, beta)( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0$
Che ci da la condizione $alpha+beta=0$ per cui prendiamo ad esempio $alpha=1$ e $beta=-1$ e otteniamo il vettore di direzione $w=(1, 2, -1)$.
Normalizzandolo otteniamo i versori $w=(1/sqrt(6), 2/sqrt(6), -1/sqrt(6))$ e $-w=(-1/sqrt(6), -2/sqrt(6), 1/sqrt(6))$

Questo è un metodo di soluzione/ragionamento alternativo al sistema.

Con il disegno effettivamente mi è tutto più chiaro, ultima (questa volta per davvero) domanda, i valori di alfa e beta sono puramente arbitrari?

Beh ma si tratta di una direzione, quindi è normale che tutti i multipli di $w$ soddisfino la condizione di ortogonalità.
Nel caso specifico, la relazione è $alpha+beta=0$ quindi $beta=-alpha$ ergo c'è un solo grado di libertà (fissato un parametro l'altro è univocamente definito).

Che significa geometricamente parlando?
$w=alphau+betav=alphau-alphav=alpha(u-v)$
Significa quindi che (in questo caso) il nostro vettore di direzione $w$ è semplicemente $(u-v)$ ed ogni suo multiplo è perpendicolare a $u+v$...incluso il valore di $alpha=1/(||u-v||)$ che lo rende un versore.

Puoi anche completare il disegno ed esplorare. Troverai che l'angolo fra $u$ e $u+v$ è di 60° mentre quello fra $u$ e $w$ è di 30°.
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