Il quesito mi serviva per dimostrare una affermazione relativa ai poliedri(in ambito ricerca operativa, lì non dimostrano nulla)
se $X$ è un $RR$ spazio vettoriale di dimensione $n$, $varphi_1,...,varphi_n$ funzionali indipendenti, $P={x in X: forall i in I_n(varphi_i(x)leqb_i)}$ un poliedro allora
$z$ è un vertice
1 se e solo se $abs({i in I_n: varphi_i(z)=b_i})=n$
in altre parole un poliedro generato da $varphi_1,...,varphi_m$ vincoli con $n<m$ ha al più $(m!)/(n!(m-n)!)$ verticila dimostrazione di sopra la utilizzo in <=
di fatto se $z$ non fosse un vertice esisterebbero $x,y$ distinti nel poliedro per i quali $z=tx+(1-t)y$ con $t in (0,1)$ e quindi si fa la seguente considerazione
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(x)<b_i$ allora $varphi_i(z)=tvarphi_i(x)+(1-t)varphi_i(y)<b_i$ => assurdo
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(y)<b_i$ => analogo => assurdo
quindi si deve avere $varphi_i(x)=varphi_i(y)=varphi_i(z)$ per ogni $i in I_n$
ma per quanto dimostrato sopra, essendo le $varphi_i$ indipendenti, il sistema ammette un'unica soluzione e quindi si ottiene comunque un assurdo.